用正交变换法化二次型为标准型

Question

如图1是我写的，图2是答案
我写的特征向量a1 a2 a3顺序跟答案不一样 就得到了和答案不同的结果

不是说正交变换法得出的标准型是唯一的吗

那我这个是错的？

如果我的是错的 那这个特征向量a1 a2 a3到底该怎么排，特征向量列的顺序不同也会影响结果吗？

Answer 1

都是对的，顺序不影响结果。
标准型不唯一。
规范性不考虑顺序是唯一。惯性定理。

二次型经正交变换得到的标准型不唯一。
原因如下：
1、正交变换的正交矩阵本身各列都可以调换顺序，当然相应的特征值对应调换顺序，导致系数的位置不一致，因此不唯一。
2、从求出正交矩阵P的过程即可得知：对特征值a,(λE-A)X=0 的基础解系不唯一，正交化后自然也不唯一，所以构成正交矩阵P也不是唯一的。

Answer 2

先求特征值，然后求特征向量，根据特征向量写出标准型。然后施密特正交化就得出正交变换的矩阵了。你思路是对的。

Answer 3

你对标准型理解的不对呀，y1y2y3不分顺序的呀，你写的两个标准型式子是等价的啊，只有让你写出坐标变换时的矩阵才要按照顺序来写的。

Answer 4

正交变换法得出的标准型是唯一的是谁说的？