已知函数f（x）在区间（a，b）内具有二阶导数，且f（x1）=f（x2）=f（x...

Question

已知函数f（x）在区间（a，b）内具有二阶导数，且f（x1）=f（x2）=f（x3），其中a＜x1＜x2＜x3＜b，证明：在区间（x1，x2）内至少存在ξ一点，使得f″（ξ）=0．

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

证明：f（x1）=f（x2）=f（x3），那么由罗尔定理就可以知道，
在x1和x2之间存在c，使得f'（c）=0
同理，
x2和x3之间存在d，使得f'（d）=0
那么再由一次罗尔定理，
f'（c）=f'（d）=0
所以c和d之间存在ξ，使得f“（ξ）=0
故在区间（x1，x2）内至少存在ξ一点，使得f″（ξ）=0．