常用数列求和公式及其推导

Question

如题所述

Answer 1

1. 等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( d \) 是公差。对于前 \( n \) 项和 \( S_n \)，当 \( n \geq 2 \) 时，有 \( a_n = S_n - S_{n-1} \)。因此，等差数列的前 \( n \) 项和公式可以推导为：
\[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(a_1 + a_1 + (n-1)d)}{2} = n \cdot a_1 + \frac{n(n-1)d}{2} \]
2. 等比数列的通项公式为 \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( q \) 是公比。对于前 \( n \) 项和 \( S_n \)，当 \( q \neq 1 \) 时，有 \( a_n = \frac{S_n}{S_{n-1}} \)。因此，等比数列的前 \( n \) 项和公式可以推导为：
\[ S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1 - a_1 \cdot q^n}{1-q} = \frac{a_1 - a_n \cdot q}{1-q} \]
3. 斐波那契数列的通项公式为 \( a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right] \right\} \)。斐波那契数列的前 \( n \) 项和 \( S_n \) 没有简单的封闭形式，通常需要通过迭代计算来得到。
4. 大衍数列的通项公式为 \( a_n = \frac{n^2-1}{2} \) 对于奇数项 \( n=2k-1 \)，和 \( a_n = \frac{n^2}{2} \) 对于偶数项 \( n=2k \)。对于前 \( n \) 项和 \( S_n \)，奇数项和偶数项有不同的公式：
\[ S_n = \frac{(n-1)(n+1)(2n+3)}{12} \] 对于奇数项，
\[ S_n = \frac{n(n+2)(2n-1)}{12} \] 对于偶数项。