证法一：
这是最简单精妙的证明方法之一，几乎不用文字解释，可以说是无字证明。如图所示，左边是4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。
图形变换后面积没有变化，左边大正方形的边长是直角三角形的斜边c，面积是c2；右边图形可分割为两个正方形，它们的边长分别为直角三角形的两条直角边a和b，面积就是a2＋b2，于是a2＋b2＝c2。
图中左边的“弦图”最早出现在公元222年的中国数学家赵爽所著《勾股方圆图注》，赵爽是我国数学史上证明勾股定理的第一人。2002年8月，在北京召开的国际数学家大会，标志着中国数学进入崭新的时代，大会会徽就是这个“弦图”，寓意中国古代数学取得的重要成果。
证法二：
这一解法应该是来历最有趣的证明方法之一，是由美国第20任总统茄菲尔德（JamesA.Garfield，1831～1881）用下图证明出的。
这位总统并不是一位数学家，他甚至都不曾学习过数学。他只是非正式地自学过几何知识，很喜欢摆弄基础图形，当他还是众议院议员时，想出了这个精巧的证明，1876年发表在《新英格兰教育杂志》(New England Journal of Education)上。总统先生的证明如下：
首先，图中的梯形面积为：
组成梯形的三个三角形的面积为：
因此就有如下等式：
即得a2＋b2＝c2。
接下来的两个证明非常简单易懂，被认为是所有证明中最短、最简单的证明，因为从开始到结束只用了几行。但这些证明依赖于相似三角形的概念，要全面展开这个概念还需要大量的基础工作，这里就不再赘述。
证法三：
证法四：
这一证法涉及到圆内相交弦定理：m·n＝p·q（如左图），再看AB和CD垂直的情况，相交弦定理仍然成立（如右图），因此(c－a)(c＋a)＝b2。即得c2－a2＝b2于是，a2＋b2＝c2。
简单的勾股定理的证明方法如下：
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为（a+b）的正方形；四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为（a+b）的正方形。
所以可以看出以上两个大正方形面积相等。 列出式子可得：
拓展资料：
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
参考资料：勾股定理_百度百科
本回答被网友采纳已知：△ABC是直角三角形，∠C=90°。
求证：AC²+BC²=AB²
证明：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD、BD分别是AC、BC在斜边AB上的射影。
由射影定理可得：
AC²=AD·AB ， BC²=BD·AB
∴AC²+BC²=AD·AB +BD·AB=AB·（AD+BD）=AB²本回答被提问者采纳