正三棱锥的外接球球心为什么在高上？为什么是高的三分之二？

Question

麻烦写一下推理过程。

谢谢大家了！！找了很久都没找到！

Answer 1

按我说的在纸上画出正三棱锥ABCD
正三棱锥的外接球球心为O点，那么O点到ABCD四点的距离OA,OB,OC,OD是相等的。
从O点作底面BCD的垂线0P交底面BCD于P点。因为OB,OC,OD是相等的，可证得PB,PC,PD是相等的.
从A点作底面的垂线即高AQ交BCD于Q点，同样可证得QB,QC,QD是相等的.
于是证得Q,P是同一点。过同一点底面的垂线只有一条，即OP,AQ是贡献，所以O点在高AQ上。
因为OA,OB,OC,OD是相等的，那么可以证得OABC,0BCD,OACD,OABD是体积相等的四个三棱锥，那么0BCD的体积是ABCD
的1/4,可证op=h/4,所以AO=3h/4
哪来的2/3我就不大清楚了，弄错了吧。

Answer 2

内切球的球心到各面的距离是相等的,球心和各面可以组成四个等高的三棱锥,那么内切球的半径R,乘以正三棱锥的表面积就等于它的体积.
外接球的球心到各定点的距离是相等的,球心就一定在各棱的中垂面上.
由题设,易知,三条侧棱和侧棱上的三个中垂面构成一个边长为侧棱长的1/2的立方体,外接球半径即为立方体的对角线长,也就是√3/2侧棱长.