已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导函数f′（x）＜2，则不等式f（lnx）＜2lnx+1

Question

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导函数f′（x）＜2，则不等式f（lnx）＜2lnx+1的解集为（　　）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（0，1）D．（0，e）

Answer 1

设t=lnx，
则不等式f（lnx）＜2lnx+1等价为f（t）＜2t+1，
设g（x）=f（x）-2x-1，
则g′（x）=f′（x）-2，
∵f（x）的导函数f′（x）＜2，
∴g′（x）=f′（x）-2＜0，此时函数单调递减，
∵f（1）=3，∴g（1）=f（1）-2-1=3-3=0，
则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，
即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）-2x-1＜0，
即不等式f（x）＜2x+1的解为x＞1，
即f（t）＜2t+1的解为t＞1，
由lnx＞1，解得x＞e，
即不等式f（lnx）＜2lnx+1的解集为（e，+∞），
故选：B．