求解两道高数中值定理题第一题：设函数f(x)在区间[a,b]上连续(a>0),在...

Question

求解两道高数中值定理题 第一题：设函数f(x)在区间[a,b]上连续(a>0),在(a,b)上可微,且f'(x)≠0.证明存在ξ,η∈(a,b),使得f'(ξ)=[(a+b)/2η]f'(η). 第二题：设函数f(x)在区间(0,1)上连续,在(0,1)内可导,试证在(0,1)内至少存在一点ξ,使得(4/π)[f(1)-f(0)]=(1+ξ^2)f'(ξ).

Answer 1

解这种题的关键在于合理构造辅助函数1.证明：令g(x)=x^2,由拉格朗日中值定理存在η∈(a,b),使得g'(η)=[g(b)-g(a)]/(b-a),即2η=a+b所以原题即为证明存在ξ,η∈(a,b),使得f'(ξ)=f'(η).当ξ=η时,显然成立2.证明：令g(x)=arctanx,由柯西中值定理得存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)/g'(ξ)=[f(1)-f(0)]/[g(1)-g(0)]即f'(ξ)(1+ξ^2)=[f(1)-f(0)]/(π/4-0)=(4/π)[f(1)-f(0)],命题获证