量关系的讨论来研究图形性质；另一方面，也可利用几何图形直接地反映函 数或方程中变量之间的关系。数形结合不但可以相互启发、互相补充，也有 互相印证的作用。比如对行程中的追击问题，把表示时间、距离、速度的坐 标画在纸上，三者之间的关系一目了然。
例 在 120°的二西角α-AB-β内一点 P 到平面α的距离为 1，到棱 AB
到距离为 6。
求：（1）点 P 到另一个平面β的距离；
（2）点 P 到两个平面的垂足间的距离。
学生常将图形画成图 1 的情形，以为点 P 到平面β的距离为垂线 PO 的 长，其垂足为 O。
检验 由图1可知PC = 1，PD = 6，∠PDC = arcsin 6 ＜ ? ，∠PDO =
6 6
2? 6 2? ? ?
? arcsin ＞ - = ，则点P到平面β的垂足O应落在半平面β的反
3 6 3 6 2
向延展面上，即为图2的情形。
13.多解法
“抛两个锚比抛一个锚更安全”，有多种解法比只有一种解法更令人放 心，比如一道题可以用不同的方法、不同的途径解出结果。有的还可以分别 用代数法、几何法、三角法得出结果，这种检验方法不但能准确地检验计算 结果是否正确，还能加强知识间的联系，增强分析问题的能力，特别是当仅 有的一种解法比较冗长、曲折，自己感到把握不大时，最好探求一下其它的 解法，以便相互比较和印证。
例 用 0、1、2、3、4、5 六个数字能组成多少没重复数字的六位奇教？
解：六个数字能组成 P6 个六位数，减去其中 0 排首的 P5 个；又由于 1、
3、5 是六个数字中的一半，于是六位的奇数有（P6-P5）=300（个）。
检验 六个数字能组成 P6 个六位数，减去 0、2、4 分别排末的各 P5 个，
以及减去 0 排首而 1、3、5 分别排末的各 P4 个，因此，组成的六位奇数有
P6-3P5-3P4=288（个），仔细比较两种解答，发现原题解错误原因是 1、2、3、
4、5 分别排末的六位数是（P5-P4）个，但是 0 排末的六位数却有 P5 个，即
比其它数字排末多 P4 个，列式时未曾注意到，重复了 P4=12（个）。
最后需要强调指出，有些检验法只能用来进行直觉估计。它的通过并不 能保证题解的正确，如量纲检验、特例检验、对称检验等等。但尽管如此， 这些仍不失为有效的方法。如果把两种或两种以上的检验法结合起来，将收 到相辅相成，事半功倍的效果。
小学生查错习惯培养
培养小学生查错习惯十分重要，一般可运用下面的一些方法，培养学生
的查错习惯。
1.在解题时，步步用概念查错
解题过程中离不开概念，因此，弄清概念是查错的前提，例如，一种农 药，药液与水重量的比是 1∶1000。（1）3 克药液要加水多少千克？（2）如 果要配制 8080 千克药水，要用多少千克药液？解这道题时，为了防止可能发 生的计算错误，应要求学生弄清“按比例分配”和“正比例”的联系和区别。
2.题目解错后，应重新审题
弄清已知条件，正确地建立数量关系，从而列出算式。
3.运用一些常见错误，进行判断、选择训练
例如，铺一块地，用边长 0.3 米的方砖需要 576 块，如果改用边长 0.4 米的方砖，需要多少块？解法如下：设需要边长 0.4 米的方砖 x 块，0.4×x
＝0.3×576，x=432。此解法对吗？为什么？
4.备一本错题本，吸取平时教训
在平时作业中的一些错例，可摘录在自己的错题本上，并写出产生错误 的原因和纠正的方法，经常这样做可以吸取平时的教训，在以后的学习中避 免或减少错误的产生。
（1）写原因。开始学生写的原因总是“粗心”、“态度不认真”、“上
课没有听，保证以后做好作业”等宽泛空洞近似于检讨书保证书一类的话， 后经指导，要求写具体原因，是什么地方错的，怎么错的，为什么错的等等。 如：
①抄错题，把 2.5 写成 25。
②结果是近似值，应该用≈。
③每天烧煤 3.2 吨，8 天烧多少吨列式是 3.2×8，我写成了 8×3.2，是 没有认真审查造成的。
（2）把自己错误的原因归类整理。学生之间相互交流。共同形成做作业
中应注意的几个问题，如做计算题应注意：
①题目有没有抄错？
②计算顺序对不对？数式有没有遗漏？
③计算法则有没有混淆？
④小数点处理是否正确？
⑤是不是近似值？要不要用≈？ 上述是五年级学习小数四则混合运算内容时列出的 5 点应注意的问题。
针对不同的年级、不同的学习内容，可列出更加贴近具体的注意点。
＋bx＋c＞0（a＞0，△＞0）与 ax2＋bx+c＜0（a＞0，
△＞0）的解法，可编成乘积或分式不等式的解法口诀：“两大写两旁，两小 写中间”。即两个一次因式之积（或商）大于 0，解答在两根之外；两个一 次因式之积（或商）小于 0，解答在两根之内。当然，使用口诀时，必先将 各个一次因式中 X 的系数化为正数。利用口诀时，必先将各个一次因式中 X 的系数化为正数。利用这一口诀，我们就很容易写出乘积不
等式（x - 3）·（2x + 1）＞0的解是x＜ ?
1 x ? 2
或X＞3，公式不等式 ＜
2 3x ? 1
0的解是 - 2＜x＜ 1 。这种记忆法对低年级特别适用。
3
2.形象记忆法
有些知识，如果能借助图形，可以加强记忆。例如，化函数 y=asinx＋
bcosx（a＞0，b＞0）为一个角的三角函数，可以用 a、b 为直角边作
一直角三角形ABC，则斜边AB = a2 + b 2 ，于是a = a2 + b 2 cosθ. b =
a 2 + b 2 sinθ，y = a 2 + b 2 sin(x ? ?)。这样就很容易记忆。又如，利用指
数和对数函数的图象，可帮助记忆其性质、定义域和值域；利用三角函数的 图象，可帮助记忆三角函数的性质、符号、定义、值域、增减性、周期性、 被值；利用二次函数的图象，可帮助记忆抛物线的性质——开口、顶点、对 称轴和极值。
3.表格记忆法
有些知识借助表格也能帮助记忆。例如，0°、30°、45°、60°、90
°等特殊角的三角函数值；等差与等比数列的定义、一般形式、通项公式 an、
前 n 项的和 sn 性质及注意事项；指数与对数函数的定义、图象、定义域、值
域及性质；反三角函数的定义、图象、定义域、主值区间、增减性及有关公 式；最简三角方程的通值公式等等，都可以用表格帮助记忆。有些数学题的 解题方法，也可以用表格化难为易、驭繁为简。例如，用列表法解乘积或分 式不等式，解含绝对值符号的方程或不等式，计算多项式的乘法，求整系数 方程的有理根等等，都是很好的方法，这种记忆法在复习中尤其应该提倡。
4.联想记忆法
对新知识可以联想已牢固记忆的旧知识，用类比的方法来帮助记忆。例 如：高次方程的根与系数的关系，可以类比二次方程的韦达定理来帮助记忆； 一元 n 次多项式的因式分解定理可以类比二次三项式因式分解定理来帮助记 忆。有些数学题的解法也可以用联想的方法帮助记忆。例如，联想到实数的 有序性，我们容易写出乘积不等式（2x＋1）（x-3）（x-1）（2x＋5）
＞0与分式不等式 (x ? 1)(2x ? 5) ＞0的解都是x＜ - 2 或 - 1 ＜x或x＞3。这只
(2x ? 1)(x ? 3) 5 2
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