âååç¸ä¹æ³æ¦å¿µ
ååç¸ä¹æ³è½ææäºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å解å å¼ãè¿ç§æ¹æ³çå
³é®æ¯æäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°aå解æ两个å æ°a1,a2ç积a1•a2ï¼æ常æ°é¡¹cå解æ两个å æ°c1,c2ç积c1•c2ï¼å¹¶ä½¿a1c2+a2c1æ£å¥½æ¯ä¸æ¬¡é¡¹bï¼é£ä¹å¯ä»¥ç´æ¥åæç»æ:å¨è¿ç¨è¿ç§æ¹æ³å解å å¼æ¶ï¼è¦æ³¨æè§å¯ï¼å°è¯ï¼å¹¶ä½ä¼å®å®è´¨æ¯äºé¡¹å¼ä¹æ³çéè¿ç¨ãå½é¦é¡¹ç³»æ°ä¸æ¯1æ¶ï¼å¾å¾éè¦å¤æ¬¡è¯éªï¼å¡å¿
注æå项系æ°ç符å·ã
ä¾é¢
ä¾1 æ2x^2-7x+3å解å å¼.
åæï¼å
å解äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°ï¼åå«åå¨åå交å线çå·¦ä¸è§åå·¦ä¸è§ï¼åå解常æ°é¡¹ï¼å
å«åå¨åå交å线çå³ä¸è§åå³ä¸è§ï¼ç¶å交åç¸ä¹ï¼æ±ä»£æ°åï¼ä½¿å
¶çäºä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°.
å解äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°(åªåæ£å æ°)ï¼
2ï¼1Ã2ï¼2Ã1ï¼
å解常æ°é¡¹ï¼
3=1Ã3=3Ã1=(-3)Ã(-1)=(-1)Ã(-3).
ç¨ç»åå交å线æ¹æ³è¡¨ç¤ºä¸ååç§æ
åµï¼
1 1
â³
2 3
1Ã3+2Ã1
=5
1 3
â³
2 1
1Ã1+2Ã3
=7
1 -1
â³
2 -3
1Ã(-3)+2Ã(-1)
=-5
1 -3
â³
2 -1
1Ã(-1)+2Ã(-3)
=-7
ç»è¿è§å¯ï¼ç¬¬åç§æ
åµæ¯æ£ç¡®çï¼è¿æ¯å 为交åç¸ä¹åï¼ä¸¤é¡¹ä»£æ°åæ°çäºä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°ï¼7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
ä¸è¬å°ï¼å¯¹äºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ax2+bx+c(aâ 0)ï¼å¦æäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°aå¯ä»¥å解æ两个å æ°ä¹ç§¯ï¼å³a=a1a2ï¼å¸¸æ°é¡¹cå¯ä»¥å解æ两个å æ°ä¹ç§¯ï¼å³c=c1c2ï¼æa1ï¼a2ï¼c1ï¼c2ï¼æåå¦ä¸ï¼
a1 c1
� â³
a2 c2
a1c2+a2c1
ææ线交åç¸ä¹ï¼åç¸å ï¼å¾å°a1c2+a2c1ï¼è¥å®æ£å¥½çäºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ax2+bx+cçä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°bï¼å³a1c2+a2c1=bï¼é£ä¹äºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å°±å¯ä»¥å解为两个å å¼a1x+c1ä¸a2x+c2ä¹ç§¯ï¼å³
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
åè¿ç§åå©ç»åå交å线å解系æ°ï¼ä»è帮å©æ们æäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å解å å¼çæ¹æ³ï¼é常å«åååç¸ä¹æ³.
ä¾2 æ6x^2-7x-5å解å å¼.
åæï¼æç
§ä¾1çæ¹æ³ï¼å解äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°6å常æ°é¡¹-5ï¼æå®ä»¬åå«æåï¼å¯æ8ç§ä¸åçæåæ¹æ³ï¼å
¶ä¸çä¸ç§
2 1
â³
3 -5
2Ã(-5)+3Ã1=-7
æ¯æ£ç¡®çï¼å æ¤åå¤é¡¹å¼å¯ä»¥ç¨ååç¸ä¹æ³å解å å¼.
解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
æåºï¼éè¿ä¾1åä¾2å¯ä»¥çå°ï¼è¿ç¨ååç¸ä¹æ³æä¸ä¸ªäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°ä¸æ¯1çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å å¼å解ï¼å¾å¾è¦ç»è¿å¤æ¬¡è§å¯ï¼æè½ç¡®å®æ¯å¦å¯ä»¥ç¨ååç¸ä¹æ³å解å å¼.
对äºäºæ¬¡é¡¹ç³»æ°æ¯1çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼ä¹å¯ä»¥ç¨ååç¸ä¹æ³å解å å¼ï¼è¿æ¶åªéèèå¦ä½æ常æ°é¡¹å解å æ°.ä¾å¦æx^2+2x-15å解å å¼ï¼ååç¸ä¹æ³æ¯
1 -3
â³
1 5
1Ã5+1Ã(-3)=2
æ以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
ä¾3 æ5x^2+6xy-8y^2å解å å¼.
åæï¼è¿ä¸ªå¤é¡¹å¼å¯ä»¥çä½æ¯å
³äºxçäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼æ-8y^2çä½å¸¸æ°é¡¹ï¼å¨å解äºæ¬¡é¡¹å常æ°é¡¹ç³»æ°æ¶ï¼åªéå解5ä¸-8ï¼ç¨åå交å线å解åï¼ç»è¿è§å¯ï¼éååéçä¸ç»ï¼å³
1 2
�â³
5 -4
1Ã(-4)+5Ã2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
æåºï¼åå¼å解为两个å
³äºxï¼yçä¸æ¬¡å¼.
ä¾4 æ(x-y)(2x-2y-3)-2å解å å¼.
åæï¼è¿ä¸ªå¤é¡¹å¼æ¯ä¸¤ä¸ªå å¼ä¹ç§¯ä¸å¦ä¸ä¸ªå æ°ä¹å·®çå½¢å¼ï¼åªæå
è¿è¡å¤é¡¹å¼çä¹æ³è¿ç®ï¼æåå½¢åçå¤é¡¹å¼åå å¼å解.
é®ï¼ä¸¤ä¸ä¹ç§¯çå å¼æ¯ä»ä¹ç¹ç¹ï¼ç¨ä»ä¹æ¹æ³è¿è¡å¤é¡¹å¼çä¹æ³è¿ç®æç®ä¾¿?
çï¼ç¬¬äºä¸ªå å¼ä¸çå两项å¦ææåºå
¬å å¼2ï¼å°±å为2(x-y)ï¼å®æ¯ç¬¬ä¸ä¸ªå å¼çäºåï¼ç¶åæ(x-y)çä½ä¸ä¸ªæ´ä½è¿è¡ä¹æ³è¿ç®ï¼å¯æåå¤é¡¹å¼å形为å
³äº(x-y)çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼å°±å¯ä»¥ç¨ååç¸ä¹æ³å解å å¼äº.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
â³
2 1
1Ã1+2Ã(-2)=ï¼3
æåºï¼æ(x-y)çä½ä¸ä¸ªæ´ä½è¿è¡å å¼å解ï¼è¿åæ¯è¿ç¨äºæ°å¦ä¸çâæ´ä½âææ³æ¹æ³.
ä¾5 x^2+2x-15
åæï¼å¸¸æ°é¡¹(-15)<0ï¼å¯å解æå¼å·ä¸¤æ°ç积ï¼å¯å解为(-1)(15)ï¼æ(1)(-15)æ(3)
(-5)æ(-3)(5)ï¼å
¶ä¸åªæ(-3)(5)ä¸-3å5çå为2ã
=(x-3)(x+5)
æ»ç»ï¼â x^2ï¼ï¼p+qï¼xï¼pqåçå¼åçå å¼å解
è¿ç±»äºæ¬¡ä¸é¡¹å¼çç¹ç¹æ¯ï¼äºæ¬¡é¡¹çç³»æ°æ¯1ï¼å¸¸æ°é¡¹æ¯ä¸¤ä¸ªæ°ç积ï¼ä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°æ¯å¸¸æ°é¡¹ç两个å æ°çå.å æ¤ï¼å¯ä»¥ç´æ¥å°æäºäºæ¬¡é¡¹çç³»æ°æ¯1çäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼å å¼åè§£ï¼ x^2ï¼(p+q)xï¼pqï¼(xï¼p)(xï¼q)
â¡kx^2ï¼mxï¼nåçå¼åçå å¼å解
å¦æè½å¤å解ækï¼acï¼nï¼bdï¼ä¸æadï¼bcï¼m æ¶ï¼é£ä¹
kx^2ï¼mxï¼nï¼(ax+b)(cx+d)
a b
â³
c d
éä¿æ¹æ³
å
å°äºæ¬¡é¡¹å解æï¼1 X äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°ï¼ï¼å°å¸¸æ°é¡¹å解æï¼1 X 常æ°é¡¹ï¼ç¶å以ä¸é¢çæ ¼å¼å
1 1
X
äºæ¬¡é¡¹ç³»æ° 常æ°é¡¹
è¥äº¤åç¸ä¹åæ°å¼çäºä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°åæç« ï¼ä¸ç¸çå°±è¦æç
§ä»¥ä¸çæ¹æ³è¿è¡è¯éªãï¼ä¸è¬çé¢å¾ç®åï¼æå¤3次就å¯ä»¥ç®åºæ£ç¡®çæ¡ãï¼
éè¦å¤æ¬¡å®éªçæ ¼å¼ä¸ºï¼ï¼æ³¨æï¼æ¤æ¶çabcdä¸æ¯æï¼ax^2+bx+cï¼éé¢çç³»æ°ï¼èä¸abcdæ好为æ´æ°ï¼
a b
â³
c d
第ä¸æ¬¡a=1 b=1 c=äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°Ã·a d=常æ°é¡¹Ã·b
第äºæ¬¡a=1 b=2 c=äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°Ã·a d=常æ°é¡¹Ã·b
第ä¸æ¬¡a=2 b=1 c=äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°Ã·a d=常æ°é¡¹Ã·b
第å次a=2 b=2 c=äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°Ã·a d=常æ°é¡¹Ã·b
第äºæ¬¡a=2 b=3 c=äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°Ã·a d=常æ°é¡¹Ã·b
第å
次a=3 b=2 c=äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°Ã·a d=常æ°é¡¹Ã·b
第ä¸æ¬¡a=3 b=3 c=äºæ¬¡é¡¹ç³»æ°Ã·a d=常æ°é¡¹Ã·b
......
ä¾æ¤ç±»æ¨
ç´å°ï¼ad+cb=ä¸æ¬¡é¡¹ç³»æ°ï¼ä¸ºæ¢ãæç»çç»ææ ¼å¼ä¸º(ax+b)(cx+d)
ä¾è§£ï¼
2x^2+7x+6
第ä¸æ¬¡ï¼
1 1
â³
2 6
1X6+2X1=8 8>7 ä¸æç« ç»§ç»è¯
第äºæ¬¡
1 2
â³
2 3
1X3+2X2=7 æ以 å解å为:(x+2)(2x+3)
âååç¸ä¹æ³ï¼è§£å³ä¸¤è
ä¹é´çæ¯ä¾é®é¢ï¼
åç
ä¸ä¸ªéåä¸ç个ä½ï¼åªæ2个ä¸åçåå¼ï¼é¨å个ä½åå¼ä¸ºAï¼å©ä½é¨ååå¼ä¸ºBãå¹³åå¼ä¸ºCãæ±åå¼ä¸ºAç个ä½ä¸åå¼ä¸ºBç个ä½çæ¯ä¾ãå设AæXï¼Bæï¼1-Xï¼ã
AX+Bï¼1-Xï¼=C
X=(C-B)/(A-B)
1-X=(A-C)/(A-B)
å æ¤ï¼Xâ¶ï¼1-Xï¼=ï¼C-Bï¼â¶(A-C)
ä¸é¢ç计ç®è¿ç¨å¯ä»¥æ½è±¡ä¸ºï¼
A â¦â¦â¦C-B
â¦â¦C
Bâ¦â¦â¦ A-C
è¿å°±æ¯æè°çååç¸ä¹æ³ã
ååç¸ä¹æ³ä½¿ç¨æ¶ç注æ
第ä¸ç¹ï¼ç¨æ¥è§£å³ä¸¤è
ä¹é´çæ¯ä¾é®é¢ã
第äºç¹ï¼å¾åºçæ¯ä¾å
³ç³»æ¯åºæ°çæ¯ä¾å
³ç³»ã
第ä¸ç¹ï¼æ»åå¼æ¾ä¸å¤®ï¼å¯¹è§çº¿ä¸ï¼å¤§æ°åå°æ°ï¼ç»ææ¾å¨å¯¹è§çº¿ä¸ã
ä¾é¢
æé«æ ¡2006年度æ¯ä¸å¦ç7650åï¼æ¯ä¸å¹´åº¦å¢é¿2%ï¼å
¶ä¸æ¬ç§æ¯ä¸çæ¯ä¸å¹´åº¦åå°2%ï¼èç 究çæ¯ä¸æ°éæ¯ä¸å¹´åº¦å¢å 10%ï¼é£ä¹ï¼è¿æé«æ ¡ä»å¹´æ¯ä¸çæ¬ç§çæå¤å°äººï¼
ååç¸ä¹æ³
解ï¼å»å¹´æ¯ä¸çä¸å
±7500人ï¼7650÷ï¼1+2%ï¼=7500人ã
æ¬ç§çï¼-2%â¦â¦â¦8%
â¦â¦â¦â¦â¦â¦â¦2%
ç 究çï¼10%â¦â¦â¦ 4%
æ¬ç§çâ¶ç 究ç=8%â¶4%=2â¶1ã
7500Ã2/3=5000
5000Ã0.98=4900
è¿æé«æ ¡ä»å¹´æ¯ä¸çæ¬ç§çæ4900人ã
[ç¼è¾æ¬æ®µ]
3.ååç¸ä¹æ³è§£ä¸å
äºæ¬¡æ¹ç¨
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0
(1)解ï¼(x+3)(x-6)=-8 åç®æ´çå¾
x^2-3x-10=0 (æ¹ç¨å·¦è¾¹ä¸ºäºæ¬¡ä¸é¡¹å¼ï¼å³è¾¹ä¸ºé¶)
(x-5)(x+2)=0 (æ¹ç¨å·¦è¾¹å解å å¼)
â´x-5=0æx+2=0 (转åæ两个ä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨)
â´x1=5,x2=-2æ¯åæ¹ç¨ç解ã
(2)解ï¼2x^2+3x=0
x(2x+3)=0 (ç¨æå
¬å å¼æ³å°æ¹ç¨å·¦è¾¹å解å å¼)
â´x=0æ2x+3=0 (转åæ两个ä¸å
ä¸æ¬¡æ¹ç¨)
â´x1=0ï¼x2=-3/2æ¯åæ¹ç¨ç解ã
注æï¼æäºåå¦åè¿ç§é¢ç®æ¶å®¹æ丢æx=0è¿ä¸ªè§£ï¼åºè®°ä½ä¸å
äºæ¬¡æ¹ç¨æ两个解ã
(3)解ï¼6x^2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (ååç¸ä¹å解å å¼æ¶è¦ç¹å«æ³¨æ符å·ä¸è¦åºé)
â´2x-5=0æ3x+10=0
â´x1=5/2, x2=-10/3 æ¯åæ¹ç¨ç解ã
(4)解ï¼x^2-2(+ )x+4 =0 ï¼âµ4 å¯å解为2 •2 ï¼â´æ¤é¢å¯ç¨å å¼å解æ³ï¼
(x-2)(x-2 )=0
â´x1=2 ,x2=2æ¯åæ¹ç¨ç解ã
ä¾é¢
x^2-x-2=0
解ï¼(x+1)(x-2)=0
â´x+1=0æx-2=0
â´x1=-1,x2=2
åèèµæï¼ç¾åº¦ç¾ç§