已知导数函数和原函数关系式怎么解得原函数表达式

Question

已知导函数和原函数关系式怎么求得原函数表达式？如①f'(x)=3f2(x)，f后面的2是平方。又如②f'(x)=f(x)+ex，ex是指数函数。
以这两题为例请给出此类题目求解方法。谢谢！不要说你直接可以看出来，我是看不出来啊。
1楼的朋友，用积分我知道，但是这样还是没求出f(x)表达式啊，右边∫里还含有f(x)。我说下结果吧：①-1/(3x+C)②ex(x+C)。问题是这结果怎么来的啊？

Answer 1

都是典型的微分方程形式.

1.典型的齐次方程,令y=f(x),那么有y'=3y²,这种方程的特点是对称,可通过恒等变形的形式,将x和y分离.
我们有:dy/dx=3y²,于是dy/3y²=dx,两边同时积分
∫dy/3y²=∫dx
那么x=-1/3y,变形得:y=f(x)=-1/(3x+c)

2.这是一个一阶线性微分方程,且系数为常系数.这种方程的通式为:
dy/dx+P(x)y=Q(x),其中P(x),Q(x)是有关x的方程,下面说说这种方程的解法.
(1)假设Q(x)=0,那么有dy/dx=-P(x)
这个方程的形式就是上面所说的齐次方程,可以解得:
ln|y|=-∫P(x)dx+C1
于是:y=Cexp{-∫P(x)dx},其中C=±e^C1,exp{}表示e的{}次幂
(2)由前面的分析,y=Cexp{-∫P(x)dx},我们将常数C换成一个关于x的函数u(x),并令u=u(x)
那么y=uexp{-∫P(x)dx},此时dy/dx=u'exp{-∫P(x)dx}-uP(x)exp{-∫P(x)dx}
对于dy/dx+P(x)y=Q(x),有:
u'exp{-∫P(x)dx}-uP(x)exp{-∫P(x)dx}+P(x)uexp{-∫P(x)dx}=Q(x)
即:u'exp{-∫P(x)dx}=Q(x),u'=Q(x)exp{∫P(x)dx},
两边积分:u=∫Q(x)exp{∫P(x)dx}dx+C
所以:y=exp{-∫P(x)dx}[∫Q(x)exp{∫P(x)dx}+C]=Cexp{-∫P(x)dx}+exp{-∫P(x)dx}∫Q(x)exp{∫P(x)dx}
上式即为答案.式中,前半部分为(1)的解,称为通解;后半部分称为特解.

对于本题,你可以直接代入结论来求,当然也有特殊的方法.因为通解是很容易求的,只要令Q(x)=0,就是一个典型的齐次方程,分离变量后两边积分就可以了,但特解是很难求的.其实对于特解,是有一种简便的方法可求的,即D=d/dx的形式,这些说起原理就长了..

求特解:
针对多项式的方程f(x)=ax^m+bx^(m-1)+...+cx+d
令D=d/dx,可知特解为y={1/F(D)}*[ax^m+bx^(m-1)+...+cx+d]
例:求2y''-y'+3y=e^2x的特解.
令D=d/dx,于是y''=D²,y'=D,有:(2D²-D+3)y=e^2x
特解为y=[1/(2D²-D+3)]*e^2x
针对幂函数,我们直接令幂函数的指数为D,即令e^2x的指数2为D,可得特解y=1/9*e^2x

因此本题,特解求法:(D-1)y=e^x,y=1/(D-1)e^x.令D=1.(有这么一个规定,若代入后,分母为0,那么就对分母求导,且在分子上加一个x),那么:
y=x/(-1)e^x=-xe^x
通解:y'=y,有dy/y=dx,有x=ln|y|,y=±e^x
方程的解为特解与通解之和,那么y=-xe^x±e^x=e^x(x+C)

Answer 2

解 用 积分呀
f(x)=∫f'(x)dx=∫3f2(x)dx=f3(x)+c

f(x)=∫f'(x)=∫f(x)+ex