所有著名不等式

Question

凡是对数学竞赛有帮助的都可上传，（初等数学以内）有满意的多加分，不要柯西、均值、排序，琴生及其推论可以。
几何不等式也可 拜托不要不等式的基本性质

Answer 1

另外竞赛中还经常用到 车比雪夫不等式：设两个正序数列an，bn
若a1<=a2<=a3……<=an b1<=b2<=b3……<=bn
则 (1/n)∑aibi>=((1/n)∑ai)*((1/n)∑bi)
两个序列任意一个符号改变,不等式符号随之改变.

幂平均不等式: 设x1,x2,x3……xn是正实数,设a<b
((x1^a+x2^a+x3^a……xn^a)/n)^(1/a)<=((x1^b+x2^b……xn^b)/n)^(1/b)

还有很复杂的卡尔松不等式,权方和不等式以及不太常见的微微对偶不等式.

Answer 2

①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；
②如果x＞y，y＞z；那么x＞z；
③如果x＞y，而z为任意实数或整式，那么x＋z＞y＋z；
④ 如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;
⑤如果x＞y，z＞0,那么x÷z＞y÷z;如果x＞y，z＜0,那么x÷z＜y÷z。
⑥如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n(充分不必要条件)
⑦如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞yn
⑧如果x＞y＞0，那么x的n次幂＞y的n次幂（n为正数）

1)对于任意实数a和b,有a'2+b'2≥2ab,当且仅当a＝b时，等号成立
2）对于正实数a和b，有a+b/2≥根号ab,当且仅当a＝b时，等号成立
对于负实数a和b，有a+b/2≤－根号ab,当且仅当a＝b时，等号成立
3）对于正实数a,b和c,a+b+c≥3倍3次根号abc,当且仅当a＝b=c时，等号成立

2(a'2+b'2)≥(a+b)'2
推得：a'2+b'2/2≥[（a+b)/2]'2
推得:根号a'2+b'2/2≥（a+b)/2≥根号ab≥2ab/a+b

Answer 3

琴生不等式
排序不等式
均值不等式
绝对值不等式
权方和不等式
赫尔德不等式
闵可夫斯基不等式
贝努利不等式
幂平均不等式（均值不等式的推广式）

差不多了 基本上百科比较全
http://baike.baidu.com/view/726439.htm?func=retitle#6

Answer 4

另外竞赛中还经常用到
车比雪夫不等式：设两个正序数列an，bn
若a1<=a2<=a3……<=an
b1<=b2<=b3……<=bn
则
(1/n)∑aibi>=((1/n)∑ai)*((1/n)∑bi)
两个序列任意一个符号改变,不等式符号随之改变.
幂平均不等式:
设x1,x2,x3……xn是正实数,设a<b
((x1^a+x2^a+x3^a……xn^a)/n)^(1/a)<=((x1^b+x2^b……xn^b)/n)^(1/b)
还有很复杂的卡尔松不等式,权方和不等式以及不太常见的微微对偶不等式.

Answer 5

外森比克不等式
a,b,c为三角形三边长，s是三角形面积，则有：
a^2+b^2+c^2≥(4√3)s
证明
由海伦公式，三角形面积可表示为：
s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2则：
4s=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
由于三角形任意两边之和大于第三边，所以根号里各项都是正数，由均值不等式可得：
4s=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}
=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)
=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2]/(3√3)
≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
也即4s≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
整理得a^2+b^2+c^2≥(4√3)s

外森比克不等式还可以加强为：
a^2+b^2+c^2≥(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
finsler-hadriger不等式