正定矩阵 性质

Question

若A,B为n阶正定矩阵，AB，BA一定为正定矩阵吗？
我做到一道证明题A，B都是n阶正定矩阵，证：AB的特征值全大于零。
请拿位数学高手给我解答证明下，谢谢了。
我还是不太明白 我以前看到一个正定矩阵的性质：若A,B为n阶正定矩阵，则A+B也是正定矩阵，但AB，BA不一定是正定矩阵。 现在做到一道题：A，B都是n阶正定矩阵，证：AB的特征值全大于零。
这不与那性质矛盾吗？

Answer 1

　　正定矩阵的性质：
　　1.正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0。
　　2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
　　3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。
　　4.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
　　参考链接：正定矩阵_百度百科
http://baike.baidu.com/link?url=Z8vKp9vWTEQLZblCV8xvmN9XR4vUpdxUl089MCqWoiaI_IV2lZAQld1BfhRx14LGyBRoapiWlatioXtyVrmiMq

Answer 2

A，B都是n阶实对称(或者Hermite)正定矩阵，那么AB的特征值大于0.
证明利用正定性，存在非奇异矩阵C使得A=CC'，那么AB=CC'B相似于C'BC，而后者是对称正定的。

注意对称性，否则结论是不对的，当然你用的教材可能默认了正定性只对对称矩阵讨论。

补充：实对称矩阵一定正交相似于对角阵。
再补充：如果A和B都是对称正定的，AB和BA不一定是对称阵本回答被网友采纳