用柯西不等式解答

Question

如题所述

Answer 1

例:设a、b、c为正数且互不相等。求证:2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
∵a
、b
、c
均为正数
∴为证结论正确，只需证:2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又9=(1+1+1)^2
∴只需证:
2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9
又a、b
、c互不相等，故等号成立条件无法满足
∴原不等式成立
求某些函数最值
例:求函数y=3√(x-5)+4√(9-x)的最大值。(注:“√”表示平方根)
函数的定义域为[5,
9]，y>0
y=3√(x-5)+4√(9-x)≤√(3^2+4^2)×√{
[√(x-5)]
^2
+
[√(9-x)]
^2
}=5×2=10
函数仅在4√(x-5)=3√(9-x)，即x=6.44时取到。
以上只是柯西不等式的部分示例。
更多示例请参考有关文献。三角形式证明
:两边同时平方,展开,消去同样的项,剩余部分再平方,消去同样的项,得一完全平方式,大于或等于0,得证
代数形式
设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数，则(a1b1+a2b2+...+anbn)①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn(规定ai=0时，bi=0)时等号成立.
推广形式的证明
推广形式为
(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
(*)
证明如下
记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….
由平均值不等式得
(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n),
……
上述m个不等式叠加得
1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…
即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…
即
A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，
因此,不等式(*)成立.