已知公差不为0的等差数列{an}满足:a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.(...

Question

已知公差不为0的等差数列{an}满足:a1=2，且a1，a2，a5成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记bn=8an•an+1，数列{bn}的前n项和为Sn，当x∈[2，4]时，对于任意的正整数n，不等式x2+mx+m≥Sn恒成立，求m的取值范围.

Answer 1

解答:解:(Ⅰ)设等差数列的公差是d，
∵a1，a2，a5成等比数列，即2，2+d，2+4d成等比数列，
∴(2+d)2=2(2+4d)，即d2=4d，解得d=0或d=4，
∵公差d不为0，∴d=4.
∴an=a1+(n-1)d=2+4(n-1)=4n-2，
即的通项公式为an=4n-2.
(Ⅱ)∵
bn=
8
an•an+1
=
8
(4n-2)(4n+2)
=
2
(2n-1)(2n+1)
=
1
2n-1
-
1
2n+1
∴Sn=1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
=1-
1
2n+1
＜1，
当x∈[2，4]时，对于任意的正整数n，不等式x2+mx+m≥Sn恒成立，
即x2+mx+m≥1，则(x+1)(x-1+m)≥0，
当x∈[2，4]时，x+1＞0，
∴不等式等价为x-1+m≥0，
即m≥1-x在x∈[2，4]时恒成立，
∵1-x∈[-3，-1]
即m≥-1.