椭圆与直线相交 求中点轨迹方程

Question

如题所述

Answer 1

设直线斜率为k(k≠0)，那么直线方程：y-3=k(x-2)
将此方程与椭圆方程联立求解，其根就对应P1和P2的坐标；将方程组分别整理为关于x和y的形式：
(x²/9)+[k(x-2)+3]²/4=1
[(y-3)+2k]²/(9k²)+y²/4=1
整理成标准形式：
(9k²+4)x²+(54k-36k²)x+关于k的常数项=0
(9k²+4)y²+(16k-24)y-4(5k²+12k-9)=0
注意P1P2中点的坐标就是P1P2坐标和的一半，那么也就是上面两个方程根的和的一半。利用韦达定理，可以知道P1P2坐标和为：
横坐标和=-(54k-36k²)/(9k²+4)=中点横坐标的2倍=2x
纵坐标和=-(16k-24)/(9k²+4)=中点纵坐标的2倍=2y
二者相比得到：x/y=-9k/4
即k=-4x/9y
把该式代入横坐标或纵坐标表达式消去k得到轨迹方程：16(x-1)²+36(y-1.5)²=97
当k=0时，无交点；
当k不存在时，直线为x=2，中点坐标为(2，0)，显然满足上述方程，所以中点轨迹方程为16(x-1)²+36(y-1.5)²=97，也是一个椭圆。
另：实际上应当分析k的取值范围写出轨迹方程的定义域才能算完整解题，不过这道题计算太繁琐就略去了，有兴趣可以自行推导。（个人认为题目A坐标应为(3，2)才方便计算！）