论文摘要：本文以递归的方法解决历史上著名的德�6�1梅齐里克砝码问题，并加以推广阐述了一种特殊的进制数方式，对此问题作出了一个普遍解：任意给定一个自然数，能够以最少的个数的项保证其和为给定数而又能遍历1到此数间的任意整数。
关键词 ：进制数 ，遍历，基底，状态值；
一． 问题介绍
一位商人有一个40磅重的砝码，由于跌落在地而碎成4块，后来称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整磅数的重物，问这4块砝码碎片各是多少。 摘自《100个著名初等数学问题》
二． 问题解决
考虑这样一个用法码称重物的问题，实际上是通过在天平两端放不同砝码使各砝码值相加减得到目的值。
用递归的方法能很好的解决：
设前i块碎片的总质量为 ，由这 块能够称出1～ 之间所有整磅数，那么第 +1块碎片则为2 +1，。它依次减去前 块得到的各个磅数就能得到（ +1）～（2 +1），它依次加上前 块得到的各个磅数就能得到（2 + 2）～（3 +1）
2 +1 — = +1 2 +1 + = 3 +1
2 +1 — （ —1） = +2 2 +1 + （ —1） = 3
2 +1 — （ —2） = +3 2 +1 + （ —2） = 3 —1
… … … … … …
2 +1 — 1 = 2 2 +1 + 1 = 2 + 2
2 +1自己当然能够称出来；
所以由这 +1块碎片能称出1～（3 +1）所有的整质量。
设第 块碎片重为 ，则有：
=2 + 1；
=2 1 +1；
两式相减得 =3 ；
=1，故各碎片的磅数分别为1，3，9，27.满足和为40的要求。答案补充 三、考虑
任给一个数分成特定数目的各值，使之能遍历1到此整数
A. 改变特定碎片的磅数那么照样能称出1到总磅数的所有整数值。
如果把总量为42的重物破碎成6块，此6块能称出1到42磅所有重物，它们可以是
1，1，4，4 ，16，16
由前面特殊进制数可以得到1，4，16与0， 1，2相组合能取到2（1 + 4 + 16 ）。
B. 回到前面解题之初。 的取值不止有一种可能，若 ≦2 + 1，
① ≦ ，故由前 块能遍历1到 ，而 加上1，2，3，等就能得到 +1， +2， +3， +4，…， + 。于是能够从1取到 + 。
② ﹤ ≦2 + 1，
— ≦ + 1，由前 块能遍历1到 —
—（ —1）= — +1
—（ —2）= — +2；
… …
—（0） =
+ 1， +2，… … +
故这 块碎片能取到1～ + 所有磅数。答案补充 四．最少块数碎片完成遍历。
任何一整数在分成各项，其组合能遍历1至此数的所有值，那么其中以3进制即以 做为基底，与状态值的线性组合能够做到项数最少且满足题意。同时最后一项即零头可以不为3的各次幂。①在各种进制中，3进制是随着项数增多，它们的和增多最块的一个。②在各种其它情形中，要保证遍历中的每一个数都只用其中一种方式组合。否则构造组合的方式就会有重合。例如42可以分为：
1，3，6，27，2
也可以分为 1，1，4，4，16，16。
五．任意给定数的最少项数分法
1，按3进制数将给定数的各项依次写出，直到“零头“不是3的幂为止。这时项数就是该数最小的分解项数。2，利用 三 中的结论，我们可以不受K次幂数的限制，可以在写出每一 的值，只要保证 ≦2 + 1。各项数值丰富起来。
还举42的例子①三进制为各基底。1 + 3 + + +… + =
和依次是1 4 13 40 …留下零头2，故最少遍历分解项数是5分解方式：1 ，3 ，9 ，27 ，2 ②．1，2，7，21，11
1，2，7，20，12
1，2，6，18，15
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