软土地基的一维沉降变形仅仅只是一种特例，实际工程中地基土体的受力、变形、渗流固结等均是三维的，因此，软土地基一维沉降计算结果往往与实际不相符，其计算精度不能满足设计要求。软土地基应根据其实际的变形性状进行三维沉降计算，因为，土体在不排水情况下由剪切变形引起的瞬时沉降和侧向变形对排水固结沉降的影响是不容忽略的，它们在地基总沉降量中占有相当的比重。目前，关于地基三维沉降计算的研究较多[126][148]～[152]，但大多数研究均为三维变形条件下的最终沉降量计算问题。
本书将从地基土中任意一点在任意时刻t的三向应力—应变状态出发，利用广义虎克定律，考虑地基土体的先期固结状态 OCR 和应力历史，利用变形模量法及压缩指数法两种方法推导软土地基三维固结变形（固结沉降）与应力固结度或应变固结度以及与时间的关系（S3czt-U3tσ/U3tε-t，地基任意时刻用应力固结度和应变固结度所表示的固结沉降量的解析计算公式），以及最终固结沉降量S3cz、瞬时沉降S3d的解析计算公式。
7.4.1.1 三维变形模量E法的公式推导
三轴固结压缩试验的曲线方程可以表示为
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式中：e0为相应于σpm对应的初始孔隙比；e为相应于
由式（7.43）可得土中任意一点（x，y，z）在t时刻时的体积应变εvt为
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式中：εvt为土中任意一点在t时刻时的体积应变。其他符号意义同前。
根据描述三维应力—应变状态的广义虎克定律（Hooke Law），土中任意一点（x，y，z）在任意时刻t时的应力增量—应变增量之间的关系可以表示为
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式中：dεxt，dεyt，dεzt分别为土中任意一点在t时刻时x，y，z方向的应变增量；
令土中任意一点在t时刻时的平均有效应力增量为
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式中：
将式（7.46）代入式（7.45）可得土中任意一点在任意时刻t时的竖向排水固结应变增量dεzt和体积应变增量dεvt分别为
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式中：dεvt为土中任意一点在t时刻时的体积应变增量。
将式（7.47）、（7.48）两边同时相除可得：
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则土中任意一点在任意时刻t时的竖向排水固结应变增量 dεzt和体积应变增量 dεvt之间的关系可以表示为
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式中：Kc为系数，Kc=dεzt/dεvt。
假设Kc在地基排水固结过程中保持不变，则有：
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将式（7.44）代入式（7.51）可得三维应力—应变条件下地基土中任意一点在任意时刻的竖向应变为
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根据分层总和法，地基土在三维应力—应变条件下在任意时刻t的固结沉降量S3czt为
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式中：S3czt为三维应力—应变条件下，土中任意一点在t时刻的固结沉降量；u3t=u3（x，y，z，t）；U3tσ为三维应力—应变条件下，土中任意一点在t时刻的应力固结度。
地基土体在三维应力—应变条件下，土中任意一点在t时刻的应力固结度的表达式为
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当固结完成时（t→∞），有u3t=0。地基土体在三维应力—应变条件下，最终固结沉降量S3cz为
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式中：S3cz为三维应力—应变条件下，土中任意一点的最终固结沉降量。
公式（7.55）即为本书推导的考虑土体 OCR 的软土地基三维最终固结沉降计算公式——三维变形模量E法。
当地基土体为正常固结土时（OCR=1），有σsz=σpz、σsm=σpm，式（7.55）化简为
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地基在任意时刻t的三维固结沉降量还可以用平均应变固结度表示为
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式中：
式（7.53）、（7.57）分别为考虑土体超固结比 OCR 的用应力固结度和应变固结度表示的土中任意一点在任意时刻t的三维固结沉降解析计算公式——三维变形模量E法。
7.4.1.2 三维压缩指数Cc法的公式推导
三轴固结压缩试验的曲线方程还可以用压缩指数和回弹指数来表示。
（1）对于正常固结土和欠固结土（OCR≤1）
对于正常固结土和欠固结土，土体三轴固结压缩试验的曲线方程可表示为
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式中：e0为与σpm对应的初始孔隙比；e为与
则土中任意一点（x，y，z）在任意时刻t的体积应变εvt为
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由土体的体积应变与竖向应变之间的换算关系式（7.51），可得三维应力—应变条件下地基土中任意一点在任意时刻的竖向应变εzt为
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根据分层总和法，地基土在三维应力—应变条件下在任意时刻t的固结沉降量S3czt为
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当固结完成时（t→∞），有u3t=0。地基土体在三维应力—应变条件下，最终固结沉降量S3cz为
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公式（7.62）即为本书推导的正常固结土和欠固结土地基三维最终固结沉降计算公式——三维压缩指数Cc法。
地基在任意时刻t的三维固结沉降量还可以用平均应变固结度表示为
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式（7.61）、（7.63）分别为用应力固结度和应变固结度表示的正常固结土和欠固结土中任意一点在任意时刻t的三维固结沉降解析计算公式——三维压缩指数Cc法。
（2）对于超固结土（OCR＞1）
对于超固结土，土体三轴固结压缩试验的曲线方程可表示为
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式中：e0为与σsm对应的初始孔隙比；e为与
则土中任意一点（x，y，z）在任意时刻t的体积应变εvt为
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由土体的体积应变与竖向应变之间的换算关系式（7.51），可得三维应力—应变条件下地基土中任意一点在任意时刻的竖向应变εzt为
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根据分层总和法，地基土在三维应力—应变条件下在任意时刻t的固结沉降量S3czt为
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当固结完成时（t→∞），有u3t=0。地基土体在三维应力—应变条件下，最终固结沉降量S3cz为
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公式（7.68）即为本书推导的超固结土地基三维最终固结沉降计算公式——三维压缩指数Cc法。
地基在任意时刻t的三维固结沉降量还可以用平均应变固结度表示为
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式（7.67）、（7.69）分别为用应力固结度和应变固结度表示的超固结土中任意一点在任意时刻t的三维固结沉降解析计算公式——三维压缩指数Cc法。
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