求函数值域（最大、最小值）的方法与技巧
哈尔滨市建南文化技术学校 陈学昆、张振佳
求函数最大、最小值问题历来是高考热点，从1984年至1994年这十五年中有关最大、最小值的考题，理科共14个，文科共16个，可见这类问题的出现率很高，应用很广。因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力。因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了。反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了。所以本文的题目有时以求最大最小值的形式出现，有时以求函数的值域的形式出现，不管以什么形式出现，解题的方法与技巧基本上是一致的。现根据不同的题型，分别介绍如下：
一、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域即为原函数的值域。一般地，形如
的函数都可应用此法
例1、求函数的值域。
解：显然函数的反函数为，其定义域为的实数，故函数的值域为{|，}。
例2、求函数的最大、最小值
分析：本题显然仍属型的函数，故仍可用反函数法解之。
解：原函数去分母得：，，
，∵，∴，，
，解得：，∴，
二、分式转化法（或改为“分子常数法”）
形如的函数，除了可用反函数法求解外，还可把原函数转化为一个常数与一个分子也为常数的代数和的形式，然后求解。有时采用这一特殊技巧，非常简便。如例2：
解：∵
当时，，
当时，
例1请读者也用此法解一遍。
三、辅助角法：函数式里含有或变形后含有型的三角式时采用此法。
例3、求函数的值域
分析：与例2对比后可知，分子分母不含同一函数，本题不属于型的函数，故不能如例1、例2那样立即采用其中任何一种方法。但原函数变形后含有型的三角式，所以本题的关键在于先引入辅助角。
解：
,（其中，） ，∵，
∴ ，∴函数的值域为：
。
练习：
1、求函数的最小值，并写出使函数y取得最小值的x的集合（1991年高考理科试题）
解：=
==，当时，y取得最小值，使y取得最小值的x的集合为：。
2、求函数 的最小值（1994 年高考文科试题）
分析：如果函数式的分式部分能化为，立即可与引入辅助角，为此先把分子变形，看看能否变为，故先把分子作三角变换。均可通过降幂公式变为2倍角的余弦，故先把变为，变为，降幂后拆开，下面的思路就明朗化了。
解：∵
=
=
=
=
∴，
当时，。
四、配方法：形如或的函数可用此法。
例4、求函数的值域。
解：=
=，∴函数的值域为
练习：
1、求函数的值域（请读者自己完成）。
2、如果，那么函数
的最小值是（ ）。
（A）；（B）；（C）－1；（D）。
提示：把函数变形成关于的二次函数。（1989年高考文科试题）
五、判别式法：把函数的关系式化为关于x的二次方程，由于方程有实数解，故判别式大于或等于零。利用求得函数y的值域。常用于形如的函数。
例5、求函数的最值
解：∵的定义域是，将原式两边平方并整理得：
，再平方并整理得：
…… ①，∵，∴，即
，显然，函数y不可能为零及负值，∴。将代入上述方程①求得，此时，故知当时，函数y取得最大值为。
注意：利用此法时，曾将原式两边同时平方，原函数的定义域和值域有可能发生变化，因此需要检查最值对应的x值是否在原函数的定义域内。
练习：
1、求函数的值域。
请读者自己完成。答案是或y > 0
2、求函数的最大和最小
提示：将原函数变形成关于的二次方程，然后利用判别式求得，
六、比较法：对于闭区间[a,b]上的连续函数可用此法，即求出函数在区间(a,b)内的最值，并与边界值作比较，可得到函数的值域。
例6、求函数的值域。
解：，∵a=2>0，开口向上，又∵，∴。当x＝－2时，，
当x＝3时，，∴函数y的值域为。
把题改成：求函数的值域。
解：，∵，∴y＝－5不为此函数在[0，3]上的最小值。又时，y为增函数，且x＝0时，y＝－3；x＝3时，y＝27。∴函数的值域为。
若再改成：求函数的值域。
则函数的值域为。
练习：求函数在区间[0，3]上的最大值和最小值。（1985年高考文科试题）
请读者自己完成，答案是：，。
若改成求函数在区间[0，1]上的最大值和最小值，则答案为：，。
七、换元法：换元法在整个数学学习过程中应用很广，运用它可以帮助我们由繁到简迅速的解决问题。譬如求形如的函数的值域除可用配方法、判别式法外，还可用换元法。即作代换得代入函数关系式即可化为关于t的二次函数，但应注意t 的取值范围：。
例7、求函数的值域。
解：令，则，，代入函数关系式，得：，
∴函数的值域为。
八、三角代换法：定义域在区间[-1，1]或[0，1]上的函数，可用三角函数代换，但代换时必须使三角函数的值域与被代换的变量的取值范围相一致。
例8、求函数的值域。
解：∵函数的定义域为，即，∴可设，∴＝
。
当时，；当时，。
∴函数的值域为。
九、构造函数法：若在一定条件下，求某代数式的最值时，可设法构造出一个一次函数或二次函数（或二次方程、二次三项式），问题就迎刃而解了。
例9、在△ABC中，求的最大值。
解：∵，∴，设=
，
∵a＝－2<0，∴y有最大值，，
即当时，，∴的最大值是。
例10、设……①，……②，。
求：的最小值
解：①＋②得，；①×14－②得。
∴=，
∴所求的最小值为。
练习：
1、已知……①，……②，且，
求的最大值和最小值。
解：①－②×3得，，∴…③；
①－②×4得，，∴…④。
由③，④得，把代入得：=
，因直线的图象是下降的，故当时，；
当时，。
2、已知并且，求 的最大值。
解：∵，∴，设，
则，，
，∵，∴，即
，，
∵，∴，且在上是增函数，
∴，∴，∴。
十、不等式法：使用平均值公式求最值，必须同时满足三个条件：①必须是正实数；②必须保证时，等号成立；③与中有一个是常数，三者缺一不可。
例11、求下列函数的最值：
（1）； （2）； （3）。
解：（1），当且仅当时即时，
。
（2）∵，∴，当且仅当即时，。
（3）∵，∴
,当且仅当即时，。
例12、如图，内接于半径为R的半球的圆柱（下底面在半球的底面上，上底面的圆周在半球上），求圆柱体积的最大值，并求当圆柱体积最大时的底面半径和高。
解：设内接圆柱的高为x，底面半径为r，则，圆柱体积
，当且仅当
即时，，此时，即，∴圆柱的体积取最大值时，底面半径为，高为。
练习：
1、设，求函数的最小值。
解：∵，∴，∴，
=
=，当且仅当即
时，。
2、直角三角形三边之和为l，求这个直角三角形的面积的最大值。
解：设两直角边分别为x、y，则，∵，
，∴，∴，
直角三角形的面积，当且仅当时，上式取等号。故此三角形面积最大值为。
上面对求函数值域（最大、最小值）的一些方法和技巧作了一些归纳和整理，希望读者在解题过程中进一步探索规律，总结方法，从而迅速、准确的解决不同类型的命题，不断的提高分析问题和解决问题的能力。
参考资料：http://www.ja.edu.sh.cn/CenterWeb/mathematics/math/g1sx/J1835.htm