第1个回答 2016-06-28
圆的标准方程中(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。圆的方程编辑X²+Y²=1，圆心O（0，0）被称为1单位圆x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r；(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O（a，b），半径r。确定圆方程的条件圆的标准方程中(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)²+(y－b)²=r²；根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。2方程推导编辑(x-a)²+(y-b)²=r²在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b)点P(x,y)是圆上任意一点。圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。所以√[(x-a)²+(y-b)²]=r两边平方，得到即(x-a)²+(y-b)²=r²3一般式编辑x²+y²+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系配方化为标准方程：（x+D/2)².+(y+E/2)²=（(D²+E²-4F)/4）其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=[√（D²+E²-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D²+E²-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（x，Y）。则有：向量AC*BC=0可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0再整理即可得出一般方程。4点与圆编辑点P（X1,Y1)与圆(x－a)^2+(y－b)^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)²+(y1－b)²>r²时，则点P在圆外。⑵当(x1－a)²+(y1－b)²=r²时，则点P在圆上。⑶当(x1－a)²+(y1－b)²0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b²-4acx2时，直线与圆相离；当x1(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4=>圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）6圆上一点的切线方程编辑(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点（X0，Y0）该点的切线方程：（X-a)（X0-a)+（Y-b）（Y0-b)=r*27练习编辑同步达纲练习A级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x²+y²-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是()A.-30)相切，则实数r的值等于()A.B.1C.D.25.直线x-y+4=0被圆x²+y²+4x-4y+6=0截得的弦长等于()A.8B.4C.2D.4二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x²+y²-2x+2y+1=0相切的直线的方程为.7.设集合m={(x,y)|x²+y²≤25},N={(x,y)|(x-a)²+y²≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是.8.已知P(3，0)是圆x²+y²-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是()，过点P的最长弦所在直线方程是.三、解答题9.已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+x有两个不同的交点，求实数k的取值范围.参考答案同步达纲练习A级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=310.(,)8总结编辑定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。（2)平面上一条线段，一个端点绕它的另一个端点旋转一周，所留下的轨迹叫圆。圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。9直线与圆编辑位置关系⑴直线与圆相交（dr），没有公共点。代数法如果直线方程y=kx+m，圆的方程为（x-a)²+（y-b)²=r²,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px²+Qx+R=0(P≠0),那么：a.当△0时，直线与圆相交。几何法求出圆心到直线的距离d，半径为r d>r，则直线与圆相离 d=r，则直线与圆相切 dd.12代数编辑将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.若方程中△>0，则两圆相交；若方程中△=0，则两圆相切；若方程中△<0，两圆外离或内含.（此方法仅用于判断两个圆的位置关系，不适用于其他的二次曲线的位置关系的判断问题）13圆系方程编辑经过两圆x²+y²+D1x+E1y+F1=0与x²+y²+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆x²+y²=25和(x-1)²+(y-1)²=16的公共弦方程为x²+y²-25-[(x-1)²+(y-1)²-16]=0，即2x+2y-11=0过直线2x+2y-11=0与圆x²+y²=25的交点的圆系方程为x²+y²-25+λ(2x+2y-11)=0，即x²+y²+2λy+2λx-(11λ+25)=0依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)²+(y-11/4)²=79/8