一道初中数学题目。

Question

在综合实践活动课中，王老师提出这样一道题：如图1，在矩形ABCD中,M是BC的中点,过点M作ME平行AC交BD于点E,作MF平行BD交AC于点F，求证：四边形OEMF是菱形，作完题后，同学们按老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其他同学解答。 （1）小明同学说：我把条件中的矩形ABCD改为菱形ABCD，如图2所示，发现四边形OEMF是矩形，请给与证明。 （2）小芳同学说我把条件中的点M是中点改为点M是BC延长线上的一个动点，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF、三条线段之间存在某种数量关系，请你写出这个结论，并说明理由。

Answer 1

证明1：
∵ABCD是菱形（已知）
∴∠BOC=90°（菱形的对角线互相垂直）
∵ME∥BD，MF∥AC（已知）
∴∠OEM=90°，∠OFM=90°（平行线的同旁内角互补）
∴∠EMF=360°-∠BOC-∠OEM-∠OFM=90°（四边形内角和等于360度）
∴四边形OEMF是矩形（内角为90度的四边形是矩形）
证明2：
∵ME∥AC（已知）
∴∠BME=∠BCA（平行线的同位角相等）°
∵矩形ABCD关于AD和BC的中点连线对称
∴∠DBC=∠BCA（对称角相等）
∴∠DBC=∠BME（等量公理）
∴BE=ME（三角形等角对等边）
∵MF∥BD （已知）
∴四边形MEOF是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形）
∴MF=OE（平行四边形的对边相等）
∴ME=BE=OB+OE=OB+MF

Answer 2

⑴∵MF∥BD EM∥AC
∴四边形OEMF是平行四边形
∵ABCD为菱形 ∴∠EOF=90（菱形对角线互相垂直）
∴四边形OEMF为矩形（一个角为直角的平行四边形为矩形）
⑵∵ABCD为矩形 ∴OB=OC(矩形对角线互相平分且相等)
∵MF∥BD ∴∠OBC=∠FMC,∠COB=∠CFM(内错角)
∴△OBC∽△FMC ∴FC=FM
∵MF∥BD EM∥AC ∴四边形OEMF是平行四边形
∴ME=OF=OC+CF=OB+MF

Answer 3

250/1000=0.25㎡,√0.25（根号下）=0.5m，所以购买0.5m边长的地板砖正好合适。