具有奇偶性的函数其定义域必须关于原点对称。
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；
偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒导其奇偶性。
验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。
扩展资料：
奇偶性运算：
1、两个偶函数相加所得的和为偶函数。
2、两个奇函数相加所得的和为奇函数。
3、两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
4、两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
5、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。
6、几个函数复合，只要有一个是偶函数，结果是偶函数；若无偶函数则是奇函数。
7、偶函数的和差积商是偶函数。
8、奇函数的和差是奇函数。
9、奇函数的偶数个积商是偶函数。
10、奇函数的奇数个积商是奇函数。
11、奇函数的绝对值为偶函数。
12、偶函数的绝对值为偶函数。
参考资料来源：百度百科-奇偶性
参考资料来源：百度百科-函数奇偶性
具有奇偶性的函数其定义域必须关于原点对称。
例如奇函数要求在定义域内任何一点，都满足
f（-x）=-f（x）
如果函数的定义域不关于原点对称，那么说明至少有一个点a，满足a在定义域内，而-a不在定义域内。那么对于这点，f（-a）无定义，不满足f（-a）=-f（a），不是奇函数。
所以奇函数要求定义域关于原点对称。
同理，偶函数要求定义域内任何一点都满足
f（-x）=f（x）
如果函数的定义域不关于原点对称，那么说明至少有一个点b，满足b在定义域内，而-b不在定义域内。那么对于这点，f（-b）无定义，不满足f（-b）=f（b），不是偶函数。
所以偶函数要求定义域关于原点对称。
扩展资料：
函数奇偶性常用结论
（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性
偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性
（2）若f（x-a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（a，0）对称
若f（x-a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=a对称
（3）在f（x），g（x）的公共定义域上：奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
上述奇偶函数乘法规律可总结为：同偶异奇
参考资料：百度百科-函数奇偶性
关于原点对称。
例如奇函数要求在定义域内任何一点，都满足：
f（-x）=-f（x）
如果函数的定义域不关于原点对称，那么说明至少有一个点x0，满足x0在定义域内，而-x0不在定义域内。那么对于这点，f（-x0）无定义，不满足f（-x0）=-f（x0），不是奇函数。
所以奇函数要求定义域关于原点对称。
同理，偶函数要求定义域内任何一点都满足：
f（-x）=f（x）
如果函数的定义域不关于原点对称，那么说明至少有一个点x0，满足x0在定义域内，而-x0不在定义域内。那么对于这点，f（-x0）无定义，不满足f（-x0）=f（x0），不是偶函数。
所以偶函数要求定义域关于原点对称。
扩展资料：
常用结论
（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；
偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
（2）若f（x-a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（a，0）对称；
若f（x-a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=a对称；
（3）在f（x），g（x）的公共定义域上：奇函数±奇函数=奇函数；
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
上述奇偶函数乘法规律可总结为：同偶异奇。
参考资料来源：百度百科-函数奇偶性
本回答被网友采纳关于原点对称。
奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f（x）比较得出结论。
因为无论是奇函数还是偶函数，都是对函数的f（x）和f（-x）之间的值比较的。所以如果函数的定义域不关于原点对称，那么对于部分x值就无-x与之对应，那么对这部分f（x），就没有f（-x）与之比较。所以具有奇偶性的函数其定义域必须关于原点对称。
扩展资料：
奇偶性的函数需要注意：
1、奇偶性是函数整体性质，针对于整个定义域而言。故要想否定奇偶性，只需找一反例即可；
2、从x的任意性可看出，具备奇偶性的函数，首先定义域必须关于原点对称，定义域不关于原点对称的函数，必为非奇非偶函数；
3、从x的任意性可看出，具备奇偶性的函数，首先定义域必须关于原点对称，定义域不关于原点对称的函数，必为非奇非偶函数。
参考资料来源：百度百科-函数奇偶性
本回答被网友采纳因为无论是奇函数还是偶函数，都是对函数的f（x）和f（-x）之间的值比较的。
所以如果函数的定义域不关于原点对称，那么对于部分x值就无-x与之对应，那么对这部分f（x），就没有f（-x）与之比较。
所以具有奇偶性的函数其定义域必须关于原点对称。本回答被提问者和网友采纳