某点导数大于0,其原函数在这点邻域内单调递增

Question

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 导数的定义是这样的，既然这一点的导数存在且大于零，那么u(x0,δ)的这个区间内函数应该是单调增的，可是这个命题不对，希望您可以解答啊，谢谢啊

Answer 1

函数在某一点的导数大于0，并不能保证函数在该点的某个邻域内单增，例如以下反例：

它在x=0处的导数大于0，但在x=0的任何邻域内都不单调，函数图象如下：

事实上，函数在一点x0处的导数大于0，只能保证在x0的某个邻域内f(x)>f(x0)，并不能保证在某个邻域内f'(x)>0，本质上是因为导函数在该点不一定不连续，从而导致导函数不一定不具有保号性。