课本给出关于基的定义:
设V为向量空间,如果r个向量a1,a2,…,ar∈V,且满足:
(i)a1,a2,…,ar线性无关;
(ii)V 中任一向量都可由a1,a2,…,ar线性表示,
那么向量组a1,a2,…,ar就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的位数,并称V为r维向量空间。
问题:
1、条件(ii)中的“V 中任一向量”,这个“任一向量”包不包括作为基的向量组a1,a2,…,ar中的向量?
2、定义的意思是不是说要证明向量组a1,a2,…,ar为向量空间V中的一个基,是不是要证明向量组a1,a2,…,ar同时满足上面的两个条件(i)和(ii)?但我看到很多例题都是只证明向量组a1,a2,…,ar满足条件(i)就可以了,这是不是说明证明一个向量组是一个向量空间的基,只需证明这个向量组线性无关即可?
例如课本的一道例题,
答案:要证明a1,a2,a3是 R3的一个基,只要证a1,a2,a3线性无关,即只要证A~E。
这是不是说明只需证明向量组a1,a2,…,ar满足定义中的条件(i)即可证明它是向量空间中的一个基?
在此恳请高手详细指点,不胜感激O(∩_∩)O~