如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E-DF-A的余弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：如图，连结AC．
因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分．
又因为F是BD中点，所以F是AC中点．
在△PAC中，E是PA中点，F是AC中点，
所以EF∥PC，又因为EF?平面PBC，
所以EF∥平面PBC；…（5分）
（Ⅱ）取AD中点O，在△PAD中，因为PA=PD，所以PO⊥AD．
因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD，因为OF?平面ABCD，所以PO⊥OF．
又因为F是AC中点，所以OF⊥AD．
如图，以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
因为PA=PD=AD=2，所以OP＝
，则有O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P(0，0，
)，E(
，0，
)，F（0，1，0）
于是
＝(0，2，0)，
＝(
，0，
)，
＝(1，1，0)．
显然
＝(0，0，
)是平面FAD的一个法向量．
设平面EFD的一个法向量是
=（x，y，z）．
故
即
令x=1则
＝(1，?1，?
)．
所以|cos＜
（Ⅰ）证明：如图，连结AC．因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分．
又因为F是BD中点，所以F是AC中点．
在△PAC中，E是PA中点，F是AC中点，
所以EF∥PC，又因为EF?平面PBC，
所以EF∥平面PBC；…（5分）
（Ⅱ）取AD中点O，在△PAD中，因为PA=PD，所以PO⊥AD．
因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD，因为OF?平面ABCD，所以PO⊥OF．
又因为F是AC中点，所以OF⊥AD．
如图，以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
因为PA=PD=AD=2，所以OP＝
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
于是
| AB |
| DE |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| DF |
显然
| OP |
| 3 |
设平面EFD的一个法向量是
| n |
故
|
|
| n |
| 3 |
所以|cos＜