解答:
(Ⅰ)证明:如图,连结AC.
因为底面ABCD是正方形,所以AC与BD互相平分.
又因为F是BD中点,所以F是AC中点.
在△PAC中,E是PA中点,F是AC中点,
所以EF∥PC,又因为EF?平面PBC,
所以EF∥平面PBC;…(5分)
(Ⅱ)取AD中点O,在△PAD中,因为PA=PD,所以PO⊥AD.
因为面PAD⊥底面ABCD,且面PAD∩面ABCD=AD,
所以PO⊥面ABCD,因为OF?平面ABCD,所以PO⊥OF.
又因为F是AC中点,所以OF⊥AD.
如图,以O为原点,OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
因为PA=PD=AD=2,所以
OP=,则有O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),
P(0,0,),
E(,0,),F(0,1,0)
于是
=(0,2,0),
=(,0,),
=(1,1,0).
显然
=(0,0,)是平面FAD的一个法向量.
设平面EFD的一个法向量是
=(x,y,z).
故
即
令x=1则
=(1,?1,?).
所以
|cos<