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    如图，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，棱AA1，BB1，CCl，DDl垂直于面ABCD，AB=4，CD=2，CC1=DDl=2，BBl=AAl=4，E为AB的中点．（1）求证：CIE∥面AA1DlD；（2）当BC=2时，求证：面C1EC⊥面BlBDDl；（3）在第（2）条件下，求面ABCD与面A1B1C1D1所成锐二面角的正切值．

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    推荐答案   2014-09-24
    （1）证明：连接AD1，
    ∵C1C⊥面ABCD，D1D⊥面ABCD，
    ∴C1C∥D1D，
    ∵C1C=D1D=2，
    ∴四边形C1D1AE为平行四边形，
    ∴EC1∥AD1，
    ∵EC1?面AA1D1D，AD1?面AA1D1D，
    ∴EC1∥面AA1D1D．
    （2）连接ED，则四边形EBCD为平行四边形，
    当BC=2时，BC=BE，
    平行四边形EBCD为菱形，
    ∴EC⊥BD，
    ∵B1B⊥面ABCD，B1B⊥EC，又B1B∩BD=B，
    ∴EC⊥面B1BDD1，
    ∴面C1EC⊥面BlBDDl．
    （3）延长BC，B1C1，交于点P，则
    PC
    PB
    ＝
    C′C
    PB
    ＝
    CD
    AD
    ＝
    2
    4
    ，
    ∴P′C＝
    1
    2
    PB    ，
    ∴点P与点P‘重合，
    ∴BC，B1C1，AD延长线交于一点P，
    同理，BC，B1C1，A1D1，AD延长线相交于同一点P，
    过点P作直线l∥CD，则l为面ABCD和面A1B1C1D1的交线，
    取A1B1中点F，连接EF，EP，FP，
    ∴PB=PA=4，
    E为AB中点，
    ∴PE⊥AB，∴PE⊥l，
    同理，PF⊥l，∠EPF为二面角A-l-A1的平面角，
    在Rt△PEF中，PE=
    3
    2
    AB    =
    3
    ，
    EF=BB1=4，
    ∴tan∠EPF=
    EF
    PE
    =
    4
    2
    3
    =
    2
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