这是一道湖南省高中学业水平考试的数学题，希望大家帮帮忙，这对我很重要，请写出详细的解题步骤

Question

如题所述

Answer 1

怀疑这个题目应该是等号不是减号！就是题设里面f(x)后面不是减号，减号题目逻辑和问题都不对，应该是等号。
设整个函数为f(x)=2^x+λ*2^x
(1) λ=-1代入f(x)得，f(x)=0，所以零点为所有实数；
(2) f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)，得(1+λ)*2^x=(1+λ)*2^(-x)，解得λ=-1；
(3) 根据题意得，1/2 ≤ (1+λ)*2^x ≤ 4，又根据x取值范围，解得 -1-log2(1+λ)≥0，2-log2(1+λ)≤1，解得 λ小于等于-1/2，或者λ≥1，所以这样的λ不存在。追问

不好意思，可能是图片分辨率的问题，确实是等号。而且是f(x)=2^x+λ*2^-x.后边的负号没显示出来，麻烦再帮我解答一下，谢谢。题目改了一下了之后，第一问应该要运用到求导吧，但是我不记得怎么求导了，因为我已经高中毕业好久了，不记得做了

追答

就是嘛，我说怎么按照条件都不大对，我打字太辛苦了，你要是看着最后结果满意，麻烦给个100财富悬赏鼓励一下吧。谢谢！我第一次要报酬，确实太累写着。稍等哈。

(1) 代入λ=-1，f(x)=2^x-2^(-x)，求零点就是求使得f(x)=0的x的值，解方程2^x-2^(-x)=0，得x=0；
(2) f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)，即2^x+λ*2^(-x)=2^(-x)+λ*2^x，解得λ=1；

(3) 根据题意要首先判断函数的单调性，由指数函数可知，单调性有两种情况，一个是λ＞0时，函数有且仅有一个极小值点；一个是λ≤0时，函数是单调递增的。分情况讨论，先看第二种简单的：
1* 当λ≤0时，[0, 1]区间内最小值在0处，最大值在1处。代入不等式得1+λ≥1/2，2+λ*(1/2)≤4，联立解得-1/2≤λ≤4，又这种情况的前提是λ≤0，所以此情况下λ范围是 [-1/2, 0]；
2* 当λ＞0时，通过对函数求导可以解得极小值点在x=(1/2)*log2(λ)=a处。此时又要分情况讨论，如果此点a在[0, 1]区间，则最大值在两个端点的较大值处；若此点不在[0, 1]区间，则函数在[0, 1]为单调函数。先考虑简单的：
2-1* a点不在[0, 1]内，a≤0，则λ≤1，此时函数单调递增，解得λ范围(考虑了λ＞0) (0, 1]；a≥1，则λ≥1，此时函数单调递减，解得λ范围(考虑了λ＞0) [1, 3]；
2.2* a点在[0, 1]内，a≥1/2，解得λ＞2，而且考虑4 ≥ 1+λ ≥ 2+λ*(1/2)，或者 4 ≥ 2+λ*(1/2) ≥ 1+λ，分别解得λ范围(2, 3]，和无解；
综上所述，λ范围为[-1/2, 3]。

追问

首先非常感谢你，这么详细的解答我的问题。我很仔细的看了解题过程，但是非常抱歉的是本人资质愚钝，对于那些分类讨论的部分看不懂，于是在你的解题过程的启发下，我自己又用求导的方法再做了一遍，得出来的答案跟你的是一样的，但是我不确定能不能这样解，所以想请你看看。

追答

你的解法有问题，注意求导那个环节，因为手写真心太累人了，我五分钟解完的要打至少十五分钟。。。所以我的里面没写求导具体步骤。你的2^(-x)的导数是-ln2*2^(-x)，是-x，不是x。
你的导数分情况讨论其实挺好的，比我的更清晰。结果应该能对上。你把错误改正了再试试看，运算会麻烦些，但我预计结果没问题。可以再上图。

追问

怎么办？我把算错了的导数更正过来之后就完全不会再分情况讨论了，不知道怎么下手了

追答

那是因为导数情况复杂了，所以你的思路就不太适用了。还是按照我的来吧，标准解法，注意分类的选择和逻辑就好。
本质上是理解最值和极值问题的本质。

你的导数又求错了～后面那项有个负号导出来，你忘了～