为什么ac- b^2=0直接不能判断极值点呢？

Question

如题所述

Answer 1

ac-b^2=0无法直接判断极值，需要进一步考察函数的二阶导数，即需要考察函数的二阶导数在该点的性质。
在微积分中，我们通常会用到一阶导数和二阶导数来判断函数的极值。如果函数的一阶导数在某一点为零，那么这一点就是函数的驻点，也就是可能的极值点。然而，并非所有的驻点都是极值点，这需要通过考察函数的二阶导数来判断。
当一阶导数为零，即ac-b^2=0，我们找到了可能的极值点。但是，这并不能直接确定该点就是极值点，我们需要进一步查看该点的二阶导数。如果二阶导数大于零，那么这一点就是函数的极小值点；如果二阶导数小于零，那么这一点就是函数的极大值点；如果二阶导数等于零，那么我们无法直接通过二阶导数判断该点的极值情况，可能需要更高阶的导数来判断。
例如，对于函数f(x) = x^3，其一阶导数为f'(x) = 3x^2，二阶导数为f''(x) = 6x。在x=0处，一阶导数等于0，即ac-b^2=0，但是二阶导数也为0，因此我们无法直接通过二阶导数判断x=0处的极值情况。实际上，x=0是f(x)=x^3的拐点，而非极值点。
所以，当我们通过一阶导数找到可能的极值点，即ac-b^2=0时，我们不能直接判断这就是极值点，还需要进一步考察二阶导数的性质。这就是微积分中判断函数极值的一般方法。

Answer 2

在微积分中，判断一个函数在某点是否有极值，通常涉及到该点的导数以及二阶导数的性质。对于一元函数f(x)，如果在某点x0处，f′(x0)=0，那么x0可能是极值点，但也可能不是。
具体来说，f′(x0)=0只是极值点的必要条件，而不是充分条件。为了确定x0是否为极值点，还需要考察x0附近的函数行为，这通常涉及到二阶导数f′′(x)。
当f′′(x0)>0时，x0是极小值点；
当f′′(x0)<0时，x0是极大值点；
当f′′(x0)=0时，情况则较为复杂，需要更高阶的导数信息或者通过其他方法来判断。
对于ac−b2=0，这通常出现在二次函数f(x)=ax2+bx+c的判别式中。当判别式等于0时，二次函数只有一个重根，也就是说函数图像与x轴只有一个交点，且这个交点可能是极值点，也可能不是。
例如，考虑函数f(x)=x2，其判别式为0，但该函数在x=0处并没有极值，因为f′′(0)=2>0，说明x=0是函数的最小值点，而不是一般的极值点。
因此，ac−b2=0不能直接用来判断极值点，因为它只提供了关于函数与x轴交点数量的信息，而没有提供关于函数在这些交点处行为（即是否有极值）的足够信息。要判断极值点，还需要考察函数的导数及其变化。