先证
假定区域D 的形状如下（用平行于轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多两点）。
易见，图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况，我们仅对图一所表示的区域D。
给予证明即可。
另一方面，据对坐标的曲线积分性质与计算法有：
假设将AB曲线上移，或EC曲线下移，使AE重合或者BC重合，便可以认为是一条常规的曲线。也可以认为某条常规曲线是由右图将AE或BC长度设为零形成的。
再假定穿过区域D内部且平行于x轴的直线与D的边界曲线的交点至多是两点。
将两式合并之后即得格林公式：
扩展资料：
含义
在平面闭区域D上的二重积分，可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达；或者说，封闭路径的曲线积分可以用二重积分来计算。
如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立。
注意：对于复连通区域D，格林公式的右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向。
格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛。
参考资料来源：百度百科-格林公式
格林公式是将区域积分的二重积分和曲线积分的一重积分进行互相转化的公式，如下图所示。
区域D的边界曲线是L，对P(x,y)和Q(x,y)。求
其实这正好就是格林公式能做的事情，
在我眼里，我觉得格林公式是一个非常有美感的公式，或者说是一个数学性质。就好像微积分基本定理一样，是一个美丽的性质。也由于此，我也想博客一篇关于格林公式的证明。这个证明过程，其实可以看这里。和这个参考页相比，基本上是抄他的。只是希望我的过程可以更通俗易懂。
1,我们假设有一个P(x,y)并且，可以有
求
由于这是对y的偏导数。所以，我们这个二重积分里，先对y进行积分。
这里假设x的积分下限、上限分别是x1、x2,y的积分下限、上限分别是y1、y2。
我们假设曲线L可以上下切开，分成两条曲线，假设上一条曲线的解析方程主y2(x)，下一条曲线的解析方程为y1(x)。
我们可以继续
（这里注意一下最后的封闭积分的前面有一个负号。因为封闭曲线的正方程是逆时针方向，而上面在曲线y1(x)上的积分是从x2到x1,y2(x)上的积分是从x1到x2是正时针方向）
上面的过程，关于对曲线上下分成y1(x)，y2(x)的方式不严谨。请参考前面线的链接。
我们得到了
同样的推导方式，也可以得到
将（2）式减去(1)式，就是美丽的格林公式(0)。
格林公式如下：
公式描述：
公式中D为分段光滑的曲线L围成的闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数。
证明过程如下：
先证：
假定区域D的形状如下（用平行于y轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多两点）
易见，图二所表示的区域是图一所表示的区域D的一种特殊情况，我们仅对图一所表示的区域D给予证明即可。
另一方面，据对坐标的曲线积分性质与计算法有
假设将AB曲线上移，或EC曲线下移，使AE重合或者BC重合，便可以认为是一条常规的曲线。也可以认为某条常规曲线是由右图将AE或BC长度设为零形成的。
再假定穿过区域D内部且平行于x轴的直线与D的边界曲线的交点至多是两点，用类似的方法可证：
将两式合并之后即得格林公式：
注：
若区域不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立.
格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛
格林公式
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y) 在D上具有一阶连续偏导数，则有
其中L是D的取正向的边界曲线.
单连通区域的概念
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域；否则称为复连通区域.
通俗地讲，单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域.
陈述
证明
假设将AB曲线上移，或EC曲线下移，使AE重合或者BC重合，便可以认为是一条常规的曲线。也可以认为某条常规曲线是由右图将AE或BC长度设为零形成的。
注：若区域不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立.
格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛。
格林公式：
公式描述：公式中D为分段光滑的曲线L围成的闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数。
推导过程：
继续：
（这里注意一下最后的封闭积分的前面有一个负号。因为封闭曲线的正方程是逆时针方向，而上面在曲线y1(x)上的积分是从x2到x1,y2(x)上的积分是从x1到x2是正时针方向）
上面的过程，关于对曲线上下分成y1(x)，y2(x)的方式不严谨。请参考前面线的链接。得到了：
