在自然数集N上定义一个函数 y = f ( x )，已知 f (1) + f (2)=5.当x为奇数时， f ( x+ 1)－ f (

Question

在自然数集N上定义一个函数 y = f ( x )，已知 f (1) + f (2)=5.当x为奇数时， f ( x+ 1)－ f ( x )=1，当 x 为偶数时 f ( x+ 1)－ f ( x )=3.（1）求证： f (1)， f (3)， f (5)，……， f (2n－1) （n∈N + ）成等差数列.（2）求 f ( x )的解析式.

Answer 1

（1）见解析；（2）                 .

（1）先构造关于f(1),f(2)的方程，然后根据 ，即可得证. （2）讨论x奇数和偶数,分别利用给的两个递推关系即可求出解析式. 解：（1）有 ∴ ∴ 是首项为2，公差为4的等差数列 （2）当x为奇数时， + 当x为偶数时， = ∴                 7’