高中数学抛物线

Question

P是抛物线C：y=（1/2）x^2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q，若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程

不要用求导，没学过，有具体解题过程的

Answer 1

设直线l的方程为：y = kx+b 。
因为，直线l与过点P的切线垂直，
所以，可设过点P的切线方程为：y = -(1/k)x+c 。

将 y = (1/2)x² 代入切线方程，
整理得：x²+(2/k)x-2c = 0 。
因为，该方程只有一个根Xp，
所以，由判别式为0，可求得：c = -1/(2k²) 。
解得：Xp = -1/k ，
所以，点P的坐标为( -1/k ，1/(2k²) )。

将点P的坐标代入直线l的方程，
可求得：b = 1 + 1/(2k²) 。

将 y = (1/2)x² 代入直线l的方程，
整理得：x²-2kx-2b = 0 。
可得：
Xm = (Xp+Xq)/2 = k ，
Ym = (Yp+Yq)/2 =(kXp+b+kXq+b)/2= k(Xp+Xq)/2 + b = k² + 1 + 1/(2k²) ，
所以，点M的轨迹方程为：y = x² + 1 + 1/(2x²) 。

Answer 2

抛物线y^2=2px上一点M(x0,y0)的切线为y0*y=2p*(x0+x)/2 ==> y0y=p(x0+x) ==> px-y0y+px0=0。也可设切线为y-y0=k(x-x0),代入抛物线并令判别式为0,易得k=p/y0,代回所设切线,即y-y0=(p/y0)(x-x0),注意到M(x0,y0)在抛物线上即y0^2=2px0,代入前式易得切线px-y0y+px0=0。

设P(x1,y1) Q(x2,y2)
过P点的切线方程为yy1=p(x+x1)
k1=p/y1
直线PQ斜率k2=-y1/p
又PQ过P点
故PQ方程为y-y1=(-y1/p)(x-x1)
y=(-y1/p)*x+(y1/p)x1+y1
平方代入y=（1/2）x^2
用维达定理即可
答案应该是y=x^2 + 1/2x^2 +1本回答被提问者采纳

Answer 3

解：由题意，可设点P(2a,2a^2),Q(2b,2b^2),则PQ的中点M(a+b,a^2+b^2),且直线PQ的斜率为(a+b).又曲线x^2=2y的过点P（2a,2a^2)的切线方程为y=2ax-2a^2.由题设知，(a+b)*2a=-1.故轨迹的参数方程为x=(a+b),y=a^2+b^2.[2a(a+b)=-1.].消去参数，得轨迹方程为y=(x^2)+[1/(2x^2)]+1.

Answer 4

不用导数真的很难。