三元基本不等式公式的四个证明如下
1、乘积不等式
如果a，b，c都是非负实数(a，b，c>=0)，那么axb≤cxa。因为如果c=0，则右边的乘积为0，因此显然有上述不等式成立。如果c>0，将a乘以c，可以得到cxa，此时cxa比axb大，即两边不等式有axb≤cxa成立。
2、欧拉不等式
如果a，b，c均为实数(a，b，c∈R)，那么a+b≥2√ ab。
因为将a，b和a+b两两取平方可得：a2+b62子2ab三(a+b)2，从中可以算出(a + b)2-2ab≥0，化简可得a +b≥2√ ab。
3、赌博不等式
如果a，b，c都是非负实数(a，b，c>=0)，那么a/b+b/ctc/a≥3。
因为分别把a，b，c三者都分母相等，即把a/b写成cb/c2、b/c 写成ca/c2以及c/a写成ba/b2，将其联立可得cb/ c2+ ca/c2+ba/b2≥3，乘以bc消去c2，b2以及a2，可得a/b+b/c+c/a≥3。
4、傅立叶不等式
如果a，b，c都是实数(a，b，cER),那么|a -b≤a -cl+b-cl。
因为|a-b|2=a-c2+b -c|2+2·a-cl·b-cl，可将其变为|a-b|2- la-c|2-b-c12≥.2·|a- c ·b-c，求平方根两边可得|a-b≤|a-cl+|1b-c。
三元基本不等式如下：
定理1：如果a，b，c∈R，那么a³+b³+c³≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立。
定理2：如果a，b，c∈R+，那么（a+b+c)/3≥³√（abc)，当且仅当a=b=c时，等号成立。结论：设x，y，z都是正数，则有：
1、若xyz=S（定值），则当x=y=z时，x+y+z有最小值3³√S。
2、若x+y+z=P（定值），则当x=y=z时，xyz有最大值P³/27。记忆：“一正、二定、三相等”。