数学专业留学读博的方向有很多，以下是一些常见的方向：
1.纯数学：这是数学专业中最基础和核心的方向之一。纯数学研究抽象的数学结构和理论，包括代数、几何、拓扑学等。在这个方向上，学生可以深入研究数学的基本概念和原理，并发展新的数学理论。
2.应用数学：应用数学是将数学方法和技术应用于实际问题的解决中。这个方向涉及到许多领域，如物理学、工程学、经济学等。学生可以选择特定的应用领域进行研究，如金融数学、运筹学、统计学等。
3.计算数学：计算数学是研究数学在计算机上的应用和模拟的学科。这个方向涉及到数值分析、优化算法、计算机图形学等。学生可以学习如何将数学问题转化为计算机程序，并进行数值计算和模拟。
4.概率论与数理统计：这个方向主要研究随机现象的规律性和概率模型的建立与分析。学生可以学习概率论、统计学、随机过程等知识，并将其应用于实际问题中，如风险管理、数据分析等。
5.离散数学：离散数学是研究离散结构的理论和方法的学科。这个方向涉及到图论、组合数学、逻辑推理等。学生可以学习如何用离散数学的方法解决实际问题，如网络优化、密码学等。