向量只有长度和方向,没有位置,常用计算公式:
1. 向量加法
v1(x1,y1,z1) + v2(x2,y2,z2) = v(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
2. 向量减法
v1(x1,y1,z1) - v2(x2,y2,z2) = v(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
或者:
v1(x1,y1,z1) - v2(x2,y2,z2) = v(x1+(-x2),y1+(-y2),z1+(-z2))
3.向量点乘
v1(x1,y1,z1) · v2(x2,y2,z2) = v(x1*x2+y1*y2+z1*z2)
使用向量点乘计算v1v2的夹角:
∵ v1·v2 = |v1|*|v2|*cos θ
∴ θ = acos((v1·v2)/(|v1|*|v2|)) 4.向量叉乘 v1(x1,y1,z1) × v2(x2,y2,z2) = v(y1*z2-z1*y2,z1*x2-x1*z2,x1*y2-y1*x2) 计算叉乘结果向量v的长度: |v| = |v1×v2| = |v1|*|v2|*sin角度
向量是数学中的一个重要概念,它是由大小和方向两个要素组成的量。在平面向量中,向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC,a+b=(x+x',y+y'),a+0=0+a=a。向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a-b=-|a-b|,其中|a-b|表示a-b的模长 。
在平面向量中,重要的公式,例如:
向量点积公式:a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)
向量叉积公式:a×b=|a||b|sinθ(θ是a与b的夹角)
是向量公式。
a向量点积b向量,结果是个数,等于abcos<a,b>,<a,b>是a向量与b向量的夹角。
a向量叉积b向量,结果是个向量,模等于absin<a,b>,方向与a向量和b向量所在平面垂直,并且遵守右手法则,a握向b,拇指方向就是叉积向量方向。
映射
给两个向量空间V和W在同一个F场,设定由V到W的线性变换或“线性映射” ,这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映像,以 L(V,W) 来描述,也是一个F场里的向量空间。
当V及W被确定后,线性映射可以用矩阵来表达。同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构, 我们称这两个空间为同构。一个在F场的向量空间加上线性映像就可以构成一个范畴,即阿贝尔范畴。