如何计算代数余子式？

Question

如题所述

Answer 1

如何计算代数余子式？
首先，我们需要了解代数余子式的定义和性质。一个代数余子式是指在行列式中删除一行和一列后剩下的子行列式的值。这个值通常用行列式中删除的元素与其余元素的乘积的符号（+1或-1）来表示。
1. 计算代数余子式的和：
- 假设原行列式中有n行，那么第一行的代数余子式之和等于将原行列式中第一行所有元素替换为1后得到的行列式的值。
- 类似地，第二行的代数余子式之和等于将原行列式中第二行所有元素替换为1后得到的行列式的值。
- 可以推广，第n行的代数余子式之和等于将原行列式中第n行所有元素替换为1后得到的行列式的值。
- 所有代数余子式之和即是上述n个新行列式的和。
2. 计算过程中的简化：
- 在实际计算中，如果行列式经过多次交换，每次交换都会乘以-1的幂，其中幂的指数是交换次数加1。
- 也可以通过展开第一列来计算代数余子式的和，此时每个代数余子式的系数是(-1)^(行号+1)。
3. 代数余子式的性质：
- 如果行列式中的某一行（或列）乘以一个常数K，则得到的行列式是原行列式的K倍，记作kA。
- 如果行列式A是另一个行列式AT的转置，那么A和AT的代数余子式是相同的。
- 如果一个n阶行列式中有一行（或列）的元素值与另一行（或列）完全相同，那么这两行（或列）的代数余子式也完全相同。