第四题怎么解啊

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程 y''=1+y'² 的通解
解：令y'=dy/dx=p；则y''=dy'/dx=(dy'/dy)(dy/dx)=p(dp/dy);
代入原式得 p(dp/dy)=1+p²;
分离变量得：pdp/(1+p²)=dy
积分之得：∫pdp/(1+p²)=y+lnc₁
(1/2)∫d(1+p²)/(1+p²)=y+lnc₁
ln(1+p²)=2y+2lnc₁； 1+p²=e^(2y+lnc₁²)=c₁²e^(2y)=(c₁e^y)²;
故p²=(c₁e^y)²-1; ∴p=dy/dx=±√[(c₁e^y)²-1];
再分离变量得 dy/√[(c₁e^y)²-1]=±dx..............①
令c₁e^y=secu，则e^y=(1/c₁)secu.............②；
e^ydy=(1/c₁)secutanudu;
dy=[(1/c₁)secutanudu]/e^y={[(1/c₁)secutanu]/(1/c₁)secu}du=tanudu;
代入①式并化简得：du=±dx；积分之得 u=±x+c₂............③；
将③代入②得：e^y=(1/c₁)sec(±x+c₂)
故原方程的通解为：y=ln[(1/c₁)sec(±x+c₂)]