f(x)=e^ax*sinbx(a,b为常数), 它的n次方的导数应该怎么求？ 求过程与答案

Question

如题所述

Answer 1

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 2

设u=e^ax,v=sinbx
f(x)=uv
f'(x)=u'v+uv'
f''(x)=u''v+2u'v'+uv''
…
f^(n)(x)=c(n,0)u^(n)v+c(n,1)u^(n-1)v'+...+c(n,n-1)u'v^(n-1)+c(n,n)uv^(n)
易得
u^(n)=a^n*e^ax
x=0
时u^(n)=a^n
v'=bcosbx
v''=-b^2sinbx
v'''=-b^3cosbx
v^(4)=b^4sinbx
若r=4k（k为正整数），则v^(r)=b^rsinbx
x=0
时v^(r)=0
若r=4k+1（k为正整数），则v^(r)=b^rcosbx
x=0
时v^(r)=b^r
若r=4k+2（k为正整数），则v^(r)=-b^rsinbx
x=0
时v^(r)=0
若r=4k+3（k为正整数），则v^(r)=-b^rcosbx
x=0
时v^(r)=-b^r
所以f^(n)(0)=c(n,1)a^(n-1)b+c(n,3)a^(n-3)(-b^3)+c(n,5)a^(n-5)b^5+c(n,7)a^(n-7)(-b^7)+...
=c(n,1)a^(n-1)b-c(n,3)a^(n-3)b^3+c(n,5)a^(n-5)b^5-c(n,7)a^(n-7)b^7+...
已知
(a+bi)^n=c(n,0)a^n+c(n,1)a^(n-1)bi+c(n,2)a^(n-2)(bi)^2+c(n,3)a^(n-3)(bi)^3+...
=c(n,0)a^n+c(n,1)a^(n-1)bi-c(n,2)a^(n-2)b^2-c(n,3)a^(n-3)(b^3)i+...
(a-bi)^n=c(n,0)a^n-c(n,1)a^(n-1)bi+c(n,2)a^(n-2)(bi)^2-c(n,3)a^(n-3)(bi)^3+...
=c(n,0)a^n+c(n,1)a^(n-1)bi-c(n,2)a^(n-2)b^2+c(n,3)a^(n-3)(b^3)i+...
所以[(a+bi)^n-(a-bi)^n]/2=c(n,1)a^(n-1)bi-c(n,3)a^(n-3)(b^3)i+c(n,5)a^(n-5)(b^5)i-c(n,7)a^(n-7)(b^7)i+...
所以f^(n)(0)=[(a+bi)^n-(a-bi)^n]/(2i)
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