求微分方程y‘’+2y=1满足初始条件y(0)=1,y'(0)=0的解

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程y''+2y=1满足初始条件y(0)=1, y'(0)=0的特解
解：齐次方程y''+2y=0的特征方程 r²+2=0的根：r₁=(√2)i；r₂=-(√2)i；
故齐次方程的通解为：y=C₁cos(√2)x+C₂sin(√2)x.
设原方程的一个特解为：y*=ax+b；y*'=a; y*''=0.
代入原方程得2(ax+b)=1, 故a=0; 2b=1, 即b=1/2;
于是得 y*=1/2; 故原方程的通解为：y=C₁cos(√2)x+C₂sin(√2)x+1/2
代入初始条件 y(0)=1，得 C₁+1/2=1, 故C₁=1/2；
y'=-(√2/2)sin2x+2C₂cos2x
y'(0)=2C₂=0，故C₂=0
于是得满足初始条件的特解为：y=(1/2)cos(√2)x+1/2

Answer 2

求微分方程y‘’+2y=1满足初始条件y(0)=1,y'(0)=0的解
微分方程y‘’+2y=1对应的齐次方程：
y‘’+2y=0（1）
特征方程为：r^2+2=0
r1=√2i,r1=-√2i
所以（1）通解：
Y=C1cos(√2x)+C2sin(√2x)
因为f(x)=1
所以设特解：
y*=A
y‘’=0
所以:0+2A=1
A=1/2
所以原方程通解：
y=C1cos(√2x)+C2sin(√2x)+1/2
因为y(0)=1,y'(0)=0
所以:
C1cos0+C2sin0+1/2=1
-√2C1sin0+√2C2cos0=0
C1=1/2
C2=0
所以微分方程y‘’+2y=1满足初始条件y(0)=1,y'(0)=0的解:
y=0.5cos(√2x)+1/2