第1个回答 2009-07-31
学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.要使这个课程基本理念真正落实到高中数学教学中，教师应根据学生的认知水平和已有的知识经验设立体现数学某些重要应用的课程，开展“数学探究”“数学建模”的学习活动，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力，体验数学的真谛.
20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一.当今知识经济时代，数学正从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广阔的前景.我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强.近几年来，我国大学 、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野.在这样的课程理念下，人民教育出版社课程标准B版教材给我们吹来了一股春风，它不仅仅是简单的文字变化，而是教学思想理念的突出体现.整套教材设立了大量的“数学探究”“数学建模”等学习活动，提供了基本内容的实际背景，反映了数学的应用价值.这些体现数学应用的课程为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造了有利条件，同时也激发学生的数学学习兴趣、鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯.
下面笔者就对“函数（第一课时）”内容进行了如下教学设计和尝试.
教材分析
1.本课的地位和作用
函数是数学中重要的基础概念之一。学生进一步学习的高等数学基础课程，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程和泛函分析等，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的。其他学科，如物理学科等，也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。它是在初中初步探讨函数的概念，函数关系的表示方法、图象的位置等基础上，对函数概念的再认识，即用集合的思想理解函数的一般定义。函数及应用研究的深入及提高，也是今后进一步参加工农业生产建设需要具备的基础知识.本章的学习对中学生数学学习起着决定性的作用.而且不仅是知识性方面，更重要的是在数学建模方面，也将是终身受益的一章.
2.教学重点与难点
重点:体会函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要数学模型,在映射的基础上理解函数的概念.
难点:对函数符号y=f(x)的理解.
教学目标
1.知识与技能目标：
(1)通过不同的生活实例帮助学生建立数学概念的背景,从而正确理解函数的概念.
(2)能用集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的要素，即定义域和对应法则；进一步理解对应法则的意义.
2．过程与方法目标：
了解函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，再现函数知识产生的过程。在数学建模中体验用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。
3．情感态度与价值观目标：
通过创设实际生活情景，让学生接近现实生活，关注社会实际；感受对应关系在刻画函数的概念中的作用，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生勇于探索的科学精神.
教学过程
一、创设问题情境
师：在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述两个变量之间的依赖关系，今天我们将进一步学习函数及其构成要素.下面我们一起看几个实例：
问题1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(m)随时间t(s)的变化的规律是h=130t-5t2.提出以下问题：
（1） 炮弹飞行1s、10s、20s时距地面多高？
（2） 炮弹何时距离地面最高？
（3） 你能指出变量t和h的取值范围吗？分别用集合A和集合B表示出来.
（4） 对于集合A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2，在集合B中是否都有唯一的高度h和它对应？
生:因为有初中的基础，很快说出前三个小问题的答案，问题（4）师启发学生用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之对应.
[从多媒体展示的生活问题入手，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。]
问题2.某市气象观测站测试一天24小时内的气温变化如图所示
(1) 上午8时的气温约是多少？
(2) 你能指出变量t和θ的取值范围吗？分别用集合A和集合B表示出来.
(3) 对于集合A中的每一个时刻t,按照图像所示,在集合B中是否都有唯一确定的温度θ和它对应?
生1答:上午8时的气温约是0。C；t的取值范围是[0，24]；
θ的取值范围是[-2，9]。
生2答：对于集合A中的每一个时刻t，按照图象所示，在集合B中都有唯一确定的温度θ和它对应。
接着师请学生回顾近十年来自己家庭生活的变化,其中哪些方面的消费变化大?哪些方面的消费变化小?
[学生回答踊跃,进一步调动了学生的积极性,并亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程,这实际是倡导做数学和用数学,关注学生知识的形成发展的过程.]
师又抛出问题3.你认为该用什么数据来衡量家庭生活质量的高低?幻灯展示恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
t
91
92
93
94
95
96
97
98
99
00
01
r
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.5
44.5
41.9
39.2
37.9
阅读图表后仿照问题1、问题2、描述表中恩格尔系数r和时间t（年份）的关系.
生归纳：对于表中的任一个时间t（年份），按照表格，都有唯一的一个恩格尔系数r与之对应.
二、探索新知
生分组讨论以上实例的共同特点，归纳总结出：都涉及到两个非空数集A、B，都存在某种对应关系，使对于A中的每一个数x，按照这种对应关系，在B中都有唯一的y与x对应.
[实际问题引出概念，激发学生兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。]
1．函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x.在集合B中都有唯一确定的数值y和它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。记作，其中.定义域：x的取值范围（数集A）叫做函数的定义域；如果自变量取值a，则法则f确定的值y称为函数在a处的函数值。值域：函数值的集合{y/y=,}叫做函数的值域.
师生共同回忆在初中介绍的函数概念，它是这样表述的：
设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有惟一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数.
[我们看到，这里是用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的.]
师：函数的对应法则通常用记号表示，函数记号表明，对于定义域中的任意，在“对应法则”作用下得到.在比较简单的情况下，对应法则可用一个解析式来表示，但在不少问题中，对应法则要用几个解析式来表示，有时甚至不可能用解析式来表示，那用什么表示呢？
生：要用其他方式（如列表、图象）来表示.
学生分组讨论，函数定义需要注意的几个方面：(师板书)
（1）,方向性；
（2）关键词“任意一个x”“唯一确定的数f(x)”.
（3）A，B为非空数集；
（4）A中的任一个元素，B中都有惟一的元素与之对应；而B中的元素在A中的对应元素可以不惟一，也可以没有，显然值域.
[教师在讲解概念时，在多媒体屏幕上有意识地用不同颜色的字体，突出强调重点，调动学生的非智力因素理解概念。]
2． 问题4：
(1)下列对应发则是否是在给定集合上的一个函数？
①R，g:自变量的倒数；
②R,h:自变量的平方根；
③R,s:自变量t的平方减2。
（2）下面一组函数，是否为相同的函数？
①f(x)=x2,x∈R;
②s(t)=t2，t∈R;
③g(x-2)=(x-2) 2,x∈R .
生：确定一个函数的两要素：定义域和对应法则.
师生互动研讨得出：函数用符号表示，在初中学习函数时未出现这个符号，应说明几点：
①，是表示是的函数，不是表示等于与的乘积；
② 不一定是一个解析式；
③ 与 是不同的.
3、例题教学：
师出示例1 ，某西瓜摊卖西瓜，6斤以下每斤4角，6斤以上每斤6角.请表示出西瓜重量x与售价y的函数关系.
生解:用解析法，这个函数的解析表示应分两种情况：
当时，；当时，.
师：这种函数叫分段函数，我们还可以用图象法来表示.请一位学生画出这个函数的图象.
师：请问这个函数关系是否能用列表法表示呢?不方便.因为西瓜重量的等级太多，列表不易列全.
三、巩固练习1：下列图形中可以作为函数图象的是（ ）
练习2：下列函数中哪个与函数是同一函数？
四、课堂小结
这节课的研究学习就到这里了，请大家回顾一下这节课的探索和收获.
生1、我们知道了函数定义：设A，B都是非空的数集，那么A到B的映射就叫做A到B的
函数，记作，其中，.
生2、我们知道了函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法.
生3、我们知道了函数的三要素：定义域；值域；
中的为对应法则.定义域为函数的基础，对应法则为函数的核心.
生4、本节课我们讨论、合作、交流等小组活动，亲身经历了将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，觉得我们身边处处有数学.
师：说得好！这些正是我们这一节课的重心所在，希望以后能看到你们独立思考探索的成果，展示你们的研究风采.
五、建模作业
①某种钉子，每只1角5分，买只钉子的钱数是元，请列出与的函数关系式，并画出函数的图象.
②邮寄包裹，每千克重的包裹收邮资费2元，邮程超过100km以后，每增加1km加收2角，求邮资与包裹所走的千米数的函数关系.
③请同学记录一周的天气预报，列出日最高气温与日期的函数关系.
教学评析
一、注重函数概念形成过程，感悟数学真谛
我们都知道数学概念都是从客观世界中直接或间接抽象出来的，其定义大多采用“问题情景—抽取本质属性—推广到一般”的方法给出.本节课函数的概念就是在教师的引导下，学生以探索者的姿态出现，参与了概念的形成规律的揭示过程，使其思维亲身经历了一个由具体到抽象、概括事物本质的认知过程，领悟知识形成过程中隐藏的思想方法，则学生获得的不仅是函数概念，更重要的是拓宽了思维空间感悟了数学的真谛，在掌握概念的同时其概括能力得到训练.
二、问题设计开放新颖，渗透数学思想方法
我们都知道学生原有的知识和经验是学习的基础，学生的学习都是在原有的知识经验基础上自我生成的过程.在学习函数概念前，学生在初中已经接触函数，教学中教师善于运用类比思想，抓住初中与高中两个函数概念的优劣，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性。在学生合作交流的基础上，学生归纳出函数定义的几个注意方面，渗透了转化思想与归纳方法.
三、挖掘教材资源，拓展学生探究空间
我们都知道数学教材是数学课程标准的体现，是数学学科知识体系的精选，师生使用起来非常方便.本节课教师在教学中没有只停留在课本表面，而是认真钻研和熟悉教材，针对教材中的知识点，充分利用各种教学资源，组织学生探究，以培养学生的探究能力.这种精心设计的探究活动，能激发学生学习数学的积极性，提高学生探索问题、研究问题的能力.
四、改善教与学的方式，使学生主动地学习
丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。本节教学中，既有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流，整节课教师都关注了学生的主体参与，给学生留有适当的拓展、延伸的空间和时间，激发学生对数学学习的兴趣，养成良好的学习习惯.
著名数学教育家弗赖登塔尔在谈到数学应用时，曾指出“应从两个方面来理解数学应用：既要重视从实际问题中提取数学概念和原理，又要重视用数学概念与原理反过来处理实际问题”；“而要将学校数学更为广泛地应用到不同的脉络背景，数学化应该是数学教学的主要方式”。本节课教师通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，形成数学问题（即实际问题数学化）。同时开阔了学生的视野，体会了数学的科学价值、应用价值、人文价值.