函数y=sinx+cosx（0≤x≤π/2）的值域等于？

Question

这类题要怎么做？老不会啊！！

Answer 1

y=sinx+cosx （0≤x≤π/2）

注意：y是两个函数sinx和cosx的叠加，而这个两个函数在0≤x≤π/2区间的单调性不一致：

当x从0到π/2时，
sin(x)从0单调增加到1，而
cos(x)从1单调降到0。

由于，sin(x)和cos(x)在0≤x≤π/2区间的单调性不一致，

所以，你只有把两个函数化成一个来做

y=sinx+cosx（0≤x≤π/2）
=(根号2)*sin(x+π/4) （0≤x≤π/2）

由于，0≤x≤π/2
所以，π/4≤x+π/4≤(3/4)*π

但你要知道，若令z=x+π/4, 当z从π/4变化到(3/4)*π，

此时，sin(z)并不“在整个区间里”单调变化，此时，

当z从π/4变到π/2，sin(z)从sin（π/4）单调增加到1
当z从π/2变到(3/4)*π，sin(z)从1单调减少到sin（(3/4)*π）

所以，sin(z)在z＝π/2，达到最大值为1，即

(根号2)*sin(x+π/4) 达到最大值为1*(根号2)＝根号2

sin(z)在z＝π/4和z=(3/4)*π，达到最小值为sin(π/4)＝1/(根号2)，即

(根号2)*sin(x+π/4) 达到最小值为 (根号2)*〔1/(根号2)〕＝1

综上，(根号2)*sin(x+π/4) 当0≤x≤π/2时，

最大值 根号2，
最小值 1
值域y属于[1,根号2]
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其实，这道题，你把sin(x)和cos(x)在同一坐标系中（0≤x≤π/2）时的图像画出来，由于sin(x)和cos(x)在0≤x≤π/2上对称和单调，所以，可以很容易的想到

最小值出现在0≤x≤π/2的两个区间端点0或π/2上，而最大值出现在0≤x≤π/2的中点π/4上

所以，很快可以得

min Y = sin(0)+cos(0) = 1 + 0 = 1
max Y = sin(π/4)+cos(π/4) = 根号2

所以，值域Y属于[1,根号2]

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楼上两位，很明显有错，sin(x)和cos(x)在0≤x≤π/2时，都是非负的，
所以，sin(x)＋cos(x)不可能小于0！

Answer 2

y=根号2（根号2/2sinx+根号2/2cosx)
=根号2sin(x+45°）
因为sin(x+45°）最大值=1，最小值=-1
所以y得最大值=根号2，最小值=-根号2
值域[-2,2]

Answer 3

0≤x≤π/2,则y>0
∴y=√(sinx+cosx)^2=√1+2sinxcosx=√1+sin2x
0≤x≤π/2,则0≤sin2x≤1
1≤y≤√2

Answer 4

y=根号2sin(x+45)
因为（0≤x≤π/2）
所以45≤x+45≤135
so -根号2≤y≤根号2

ps万能公式
y=asinx+bcosx
y=根号下(a方+b方)sin(x+*)
*=arctanb/a