一道不等式的题

Question

a>0 b>0且a+b=1,求证
①a^3+b^3≥1/4
②1/(a^2) + 1/(b^2)≥8
③√a+√b≤√2
④√a+1/2 +√b+1/2≤2

Answer 1

解：①因为a+b=1，a>0 b>0
故：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)= a²-ab+b²
因为a²-2ab+b²≥0
故：3(a²-2ab+b²)≥0
即：4(a²-ab+b²)-(a²+2ab+b²)≥0
故：4(a²-ab+b²)≥a²+2ab+b²=(a+b) ²=1
故： a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)= a²-ab+b²≥1/4

②因为a+b=1，a>0 b>0
故：(a+b) ²=a²+2ab+b²=1
故：1/a² + 1/b²=(1/a² + 1/b²)( a²+2ab+b²)
=2+a²/b²+b²/a²+2a/b+2b/a
≥2+2√(a²/b²•b²/a²)+2√(2a/b•2b/a)
=8
当a=b时，取等号

③因为a+b=1
故：(√a+√b) ²=a+b+2√(ab)=1+2√(ab)≤1+(a+b)=2
因为a>0 b>0
故：√a+√b≤√2

④因为1+(a+1/2 )≥2√(a+1/2 )；1+(b+1/2) ≥2√(b+1/2), a+b=1，a>0 b>0
故：2√(a+1/2 )+2√(b+1/2)≤1+(a+1/2 )+ 1+(b+1/2)=4
故：√(a+1/2 )+√(b+1/2)≤2

Answer 2

设a等于sin平方x，b等于cos平方y试试

Answer 3

1.用三元均值不等式
a^3+1/8+1/8>=3a/4
b^3+1/8+1/8>=3b/4
两式相加得证

2.1=a+b>=2√ab
所以ab<=1/4
因为1/a^2+4>=4/a
1/b^2+4>=4/b
相加得1/a^2+1/b^2>=4/a+4/b-8=4/ab -8>=16-8=8

3.柯西不等式
(a+b)(1+1)>=(√a+√b)^2
两边开根号得证

4.柯西不等式
[(a+1/2)+(b+1/2)](1+1)>=(√a+1/2 +√b+1/2)^2
两边开根号得证

这四题都有很多种方法，你们老师讲的方法估计会比我做的麻烦。
前两题的最简单思路就是看等号成立的条件来凑项，如第一题a=1/2时成立，a^3=1/8,就想到+2个1/8