求正、余弦型以及正切型函数最值、定义域、值域、单调区间的具体求法

Question

比如 y=2cos(-3/x+4/π)-1 的最值、定义域、值域、单调区间、周期具体解法以及为什么，谢谢

Answer 1

若使y=2cos(-3/(x+4/π))-1有意义，必须x+4/π≠0，所以x的定义域为x≠-4/π。

此时-3/(x+4/π)的值域为(-∞,0)∪(0,∞)，故2cos(-3/x+4/π)的值域是[-2,2]，所以y=2cos(-3/(x+4/π))-1的值域是[-3,1]。

最值是-3（最小值）和1（最大值）。

因为函数y=2cos(z)-1的单调区间与cos(z)的单调区间相同，(2kπ,2kπ+π)是单调递减区间，(2kπ+π,2kπ+2π)是单调递增区间，其中k为整数。所以当 

2kπ<-3/(x+4/π)<2kπ+π时，y=2cos(-3/(x+4/π))-1是单调递减的。解得 

y=2cos(-3/x+4/π)-1的递减区间为：

(-8k-1)/((2k+1)π) < x < (-8k+3)/(2kπ)，当k>0时；

(-8k+3)/(2kπ) < x < (-8k-1)/((2k+1)π)，当k<0时；

-1/π < x < ∞，当k=0时；

当  2kπ-π<-3/(x+4/π)<2kπ时，y=2cos(-3/(x+4/π))-1是单调递增的。

解得函数y=2cos(-3/x+4/π)-1的递增区间为：

(-8k+3)/((2k+1)π) < x < (-8k+7)/(2kπ)，当k>0时；

(-8k+7)/(2kπ) < x < (-8k+3)/((2k+1)π)，当k<0时；

-∞ < x < -7/π，当k=0时。

如下图，可知这个函数没有周期。

Answer 2

若使y=2cos(-3/(x+4/π))-1有意义，必须x+4/π≠0，所以x的定义域为x≠-4/π。
此时-3/(x+4/π)的值域为(-∞,0)∪(0,∞)，故2cos(-3/x+4/π)的值域是[-2,2]，所以y=2cos(-3/(x+4/π))-1的值域是[-3,1]。
最值是-3（最小值）和1（最大值）。
因为函数y=2cos(z)-1的单调区间与cos(z)的单调区间相同，(2kπ,2kπ+π)是单调递减区间，(2kπ+π,2kπ+2π)是单调递增区间，其中k为整数。所以当
2kπ<-3/(x+4/π)<2kπ+π时，y=2cos(-3/(x+4/π))-1是单调递减的。解得
y=2cos(-3/x+4/π)-1的递减区间为：
(-8k-1)/((2k+1)π) < x < (-8k+3)/(2kπ)，当k>0时；
(-8k+3)/(2kπ) < x < (-8k-1)/((2k+1)π)，当k<0时；
-1/π < x < ∞，当k=0时；
当 2kπ-π<-3/(x+4/π)<2kπ时，y=2cos(-3/(x+4/π))-1是单调递增的。
解得函数y=2cos(-3/x+4/π)-1的递增区间为：
(-8k+3)/((2k+1)π) < x < (-8k+7)/(2kπ)，当k>0时；
(-8k+7)/(2kπ) < x < (-8k+3)/((2k+1)π)，当k<0时；
-∞ < x < -7/π，当k=0时。
如下图，可知这个函数没有周期。

Answer 3

若使y=2cos(-3/(x+4/π))-1有意义，必须x+4/π≠0，所以x的定义域为x≠-4/π。
此时-3/(x+4/π)的值域为(-∞,0)∪(0,∞)，故2cos(-3/x+4/π)的值域是[-2,2]，所以y=2cos(-3/(x+4/π))-1的值域是[-3,1]。
最值是-3（最小值）和1（最大值）。
因为函数y=2cos(z)-1的单调区间与cos(z)的单调区间相同，(2kπ,2kπ+π)是单调递减区间，(2kπ+π,2kπ+2π)是单调递增区间，其中k为整数。所以当
2kπ<-3/(x+4/π)<2kπ+π时，y=2cos(-3/(x+4/π))-1是单调递减的。解得
y=2cos(-3/x+4/π)-1的递减区间为：
(-8k-1)/((2k+1)π)<x<(-8k+3)/(2kπ)，当k>0时；
(-8k+3)/(2kπ)<x<(-8k-1)/((2k+1)π)，当k<0时；
-1/π<x<∞，当k=0时；
当2kπ-π<-3/(x+4/π)<2kπ时，y=2cos(-3/(x+4/π))-1是单调递增的。
解得函数y=2cos(-3/x+4/π)-1的递增区间为：
(-8k+3)/((2k+1)π)<x<(-8k+7)/(2kπ)，当k>0时；
(-8k+7)/(2kπ)<x<(-8k+3)/((2k+1)π)，当k<0时；
-∞<x<-7/π，当k=0时。
如下图，可知这个函数没有周期。

Answer 4

若使y=2cos(-3/(x+4/π))-1有意义，必须x+4/π≠0，所以x的定义域为x≠-4/π。
此时-3/(x+4/π)的值域为(-∞,0)∪(0,∞)，故2cos(-3/x+4/π)的值域是[-2,2]，所以y=2cos(-3/(x+4/π))-1的值域是[-3,1]。
最值是-3（最小值）和1（最大值）。
因为函数y=2cos(z)-1的单调区间与cos(z)的单调区间相同，(2kπ,2kπ+π)是单调递减区间，(2kπ+π,2kπ+2π)是单调递增区间，其中k为整数。所以当
2kπ<-3/(x+4/π)<2kπ+π时，y=2cos(-3/(x+4/π))-1是单调递减的。解得
y=2cos(-3/x+4/π)-1的递减区间为：
(-8k-1)/((2k+1)π) < x < (-8k+3)/(2kπ)，当k>0时；
(-8k+3)/(2kπ) < x < (-8k-1)/((2k+1)π)，当k<0时；
-1/π < x < ∞，当k=0时；
当 2kπ-π<-3/(x+4/π)<2kπ时，y=2cos(-3/(x+4/π))-1是单调递增的。
解得函数y=2cos(-3/x+4/π)-1的递增区间为：
(-8k+3)/((2k+1)π) < x < (-8k+7)/(2kπ)，当k>0时；
(-8k+7)/(2kπ) < x < (-8k+3)/((2k+1)π)，当k<0时；
-∞ < x < -7/π，当k=0时。
如下图，可知这个函数没有周期。
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Answer 5

余弦函数是三角函数的一种，可通过直角三角形进行定义。
Rt△ABC中，∠C等于90度，AB是斜边c，BC是∠A的对边a，AC是∠A的邻边b
对于A，余弦函数是cos(A)=b/c
三角比拓展到实数范围后，对于任意一个实数x，都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又有唯一确定的余弦值cosx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余弦函数。
形式是f(x)=cosx
值域
[-1，1]
周期性
最小正周期2π
奇偶性
偶函数