无限大均匀各向同性介质中的球面波

Question

如题所述

Answer 1

在地震勘探中，一般是用点源激发地震波，点源激发的地震波以球面波形式向外传播，因此，讨论球面波的波场特征更具有实际意义。

据弹性波动理论，在均匀各向同性介质中，力源的类型与所产生的波具有一一对应关系，即胀缩力产生纵波，旋转(剪切)力产生横波。以下分别讨论胀缩点源产生的球面纵波和旋转点源产生的球面横波。

1.3.2.1 胀缩点源与球面纵波

1.3.2.1.1 地震勘探中的胀缩点源

在地震勘探中广泛用井中爆炸作为激发震源。在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后有一个均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当空腔半径a→0，或相对无限大空间时，用该方法产生的震源可看作一个胀缩点源。点源的力位函数或震源强度函数可用下式表示：

地震勘探原理、方法及解释

该式也称为胀缩点源的初始条件。

1.3.2.1.2 球面纵波的传播方程解

在均匀各向同性介质中激发点源，点源所产生的胀缩力的作用面具有球对称性，因此所产生的波前面是一个球面，故称为球面波。

已知纵波波动方程为式(1.2-12)，当力位函数Φ(t)=0时，波动方程为

地震勘探原理、方法及解释

这是直角坐标系中的波动方程，称为传播方程。为求解方便，可将式(1.3-7)转换到球坐标系为

地震勘探原理、方法及解释

式中：φ₁=rφ，r为球面法线方向，该式为球坐标一维波动方程。可用达朗贝尔法解得

地震勘探原理、方法及解释

式中：ƒ₁(

)为发散波，ƒ₂(

)为会聚波，按实际物理含义，最后得满足波动方程的解为

地震勘探原理、方法及解释

式中：ƒ为任意函数。

当考虑t≤Δt时，力位函数不为零，即需求解非齐次方程。

地震勘探原理、方法及解释

将点源用半径r=a的小球体代替，设小球体体积为W，对式(1.3-11)求体积分，并令球半径r→0，可得

地震勘探原理、方法及解释

若令

地震勘探原理、方法及解释

求解式(1.3-12)积分方程。

力位函数不为零的波动方程解为

地震勘探原理、方法及解释

该式为用震源函数表示的波动方程位移位解，其中Φ(t)也称为震源强度。

1.3.2.1.3 球面纵波的位移解

在地震勘探中，接收到的地震波振幅值反映的是质点位移，为此需求取位移解。利用位移矢量与位移位的关系，球面纵波的位移U_P为

地震勘探原理、方法及解释

该式的物理含义为：球面纵波以速度V_P沿r方向向外传播；位移函数与震源强度Φ₁(t)及一阶导数有关；位移幅度与传播距离r及r²成反比；质点位移方向(r)与波的传播方向(r)一致；“

”表示延迟位；质点位移在一维空间内振动，称此波为线性极化波。

1.3.2.2 旋转点源与球面横波

如果在讨论纵波的各种假设条件不变，仅将震源的性质由胀缩力变为旋转力，依照纵波方程的解法，可得旋转点源作用下，横波波动方程位移位的解

地震勘探原理、方法及解释

位移解为

地震勘探原理、方法及解释

式中：e_r、e_a、e_β为球坐标系中的3个单位矢量，其中

地震勘探原理、方法及解释

式(1.3-18)为球坐标中的3个位移分量，Ψ_x、Ψ_y、Ψ_z是震源强度Ψ的3个分量。

式(1.3-18)的物理含义为：球面横波以速度V_S沿r方向向外传播；位移分量函数与震源强度Ψ(t)及一阶导数有关；位移幅度与传播距离r及r²成反比；波的传播方向(r)与质点位移方向(e_a、e_β)垂直，质点位移方向有两个，沿e_a方向的质点位移称为垂直偏振波(SV)，沿e_β方向的质点位移为水平偏振波(SH)；“

”表示延迟位；横波仍为线性极化波。