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Question

如图已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,M为PC上的一点1.证明：PB⊥BC2.若PB=根号3，AM⊥PB，求三棱锥M-PAD的体积

Answer 1

已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,M为PC上的一点；1).证明：PB⊥BC；2).若PB=根号3，AM⊥PB，求三棱锥M-PAD的体积。

1）证明：因为，底面ABCD为菱形，所以，AD//BC (1); 又因为∠DAB=60°，所以△ABD和△BCD都是正三角形；因为侧面PAD为边长等于2的正三角形,作PE⊥AD（2）于E，连结BE，则,AD⊥BE，所以AD⊥面PBE；AD⊥BP；参照（1）所以，PB⊥BC。

2）因为PB=√3，PD=BD=PC； 所以△DBP和△DCP都是等腰三角形；△PBE是等边三角形。作DF⊥PB于F，交AM于G,连结AF，FM和DM，则F为△DBP上的PB的中点；关键是PD⊥面AMF；PF⊥FM。因为FM//BC//AD，FM//面PAD，面PEB⊥面PAD；作FH⊥PE；则FH是PE和FM的公垂线。

M-PAD的体积V=(1/3)(1/2)*AD* PE*FH=(1/6)*2*√3*(√3/2)sin60D=(1/2)√3/2=√3/4。