一个函数存在导数，并且已知该导数是单调增的，那么可否直接推出该函数的二阶导数恒大于0呢？

Question

一个函数存在导数，并且已知该导数是单调增的，那么可否直接推出该函数的二阶导数恒大于0呢？会不会还有某些条件，诸如二阶导数不存在这类情况而无法直接推出呢？

Answer 1

如果二阶导数存在，当然没有大问题。主要问题是，可能在部分点上，二阶倒数不存在。但是在二阶导数存在的那些地方，都是可以的；在部分点上，可能二阶导数为0。
这个问题其实就是，已知一个函数是单调增的，问其导数是否恒大于0。
准确回答是，在二阶导数存在的情况下，除了至多可数个点之外，绝大多数点，二阶导数都为正。

Answer 2

不能。一阶导数大于零，只能说明在定义内是增函数。
而二阶导数，在求多项不等式时，如果二阶导数大于零，则二阶导数等于零处取得最小值，如果二阶导数小于零，而在二阶导数等于处取得最大值。

Answer 3

函数的导数恒为正，则函数单调增加，反之不一定成立，任何命题都须搞清是充分条件和必要条件的区别，