柯西不等式的证明全过程？

Question

详细些

Answer 1

柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。
如：两列数
0，1
和
2，3
有
(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.

形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数，这个辅助函数是二次函数，于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式。
还有一种形式比较麻烦的，但确实很容易想到的证法，就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开，化成一组平方和的形式。

我这里只给出前一种证法。
Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有
Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。

学了更多的数学以后就知道，这个不等式可以推广到一般的内积空间中，那时证明的书写会更简洁一些。我们现在的证明只是其中的一个特例罢了。

Answer 2

之前回答过（http://zhidao.baidu.com/question/164637542.html）不过还是修改一下抄在这里

可以用向量来证明

假设有两个向量，x=(a,b) 和 y=(c,d)

有xy=|x||y|cosα
α是向量x 和 y 的夹角

∴cosα=(ac+bd)/√(a²+b²)√(c²+d²)

显然|cosα|≤1

∴|(ac+bd)|≤√(a²+b²)√(c²+d²)

这就是柯西不等式
(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)

等号成立的条件是向量平行的条件（比如a/c=b/d，这个时候cosα=±1），即ad=bc

用向量是不是很明白啊，推广也很简单，就是使用多维空间的向量内积

Answer 3