德国数学家康托尔“无穷集合”的证明过程？

Question

他怎么证明的一条直线上的点能够和易哥平面上的点一一对应，也能和空间中的点，天平洋上的点，以及整个地球内部的点都一一对应。这样看起来一厘米长的线段内的点与一条直线上的点“一样多”谁知道证明过程？麻烦把详细的证明过程写出来。后来他又得出很多其它惊人结论， 有哪些。？谢谢了 ^-^

Answer 1

有限集合的大小很容易确定，数一数元素的个数就好了，但是无穷集合就不是这么简单了。实际上“无穷大”的大小仍然是有区别的，最小的无穷集是自然数集（它的势称为aleph-0）。集合的等势这样定义：如果存在一个集合A到集合B的双射，则称A和B等势。也就是说，对于一个无穷集合，如果其中的元素和自然数集的元素存在一个一一对应，那么它和自然数集等势。另外一种表述方式是，存在一种方法可以把集合中的元素不遗漏地列举出来（当然这个列举过程也是无限进行下去的，只需要指定一个顺序使得保证没有遗漏），因此这一类集合也被称为可列/可数集合。由此可以得出一些看上去很诡异的结论（实际上并不诡异，只是我们不习惯于这种思路），比如正整数集和正偶数集，哪个更大？实际上两者是相等的，因为很明显有一个*2的一一映射。实际上全体整数也组成一个可数集，我们指定这样一个顺序即可: {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...}。再进一步，全体有理数也组成一个可数集，因为有理数可以表示成分数的形式，我们可以按照(分子+分母)这个值递增的顺序列举，如下图：1/1 1/2 1/3 1/4 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 ...
4/1 4/2 4/3 4/4 ...
......按照从右上到左下的一条条对角线的顺序列举（跳过已出现的）：{1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1 ...} 这里省略了负数，实际上负数可以按照前面列举全体整数的方法与对应的正数交替列出，这样任一有理数都可以保证在某一位置出现。于是有理数集也是可数集。然而，把范围继续扩大，实数集却不是可数集了。康托用“对角线法”做出了很牛的证明。这个方法表述如下：假设实数集是可数集，那么我们一定能找到一个列举方式，类似下面的样子：0.489545684646...
0.334353564646...
0.576868767564...
0.389395896846...
......忽略整数部分，我们可以构造一个新的实数，这个数的小数点后第一位不同于序列中第一个数的小数点后第一位(4)，第二位不同于序列中第二个数的小数点后第二位(3)，第三位不同于(6)，第四位不同于(3)……这样得到的新数一定不等于序列中的任何一个数，但它是一个实数，按照假设它应该在序列的某个位置，这样就得到了矛盾。故实数集不是可数集。

Answer 2

康托尔定理指的是在 Zermelo-Fr�0�1nkel 集合论中，声称任何集合 A 的幂集(所有子集的集合)的势严格大于 A 的势。康托尔定理对于有限集合是明显的，但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立。特别是，可数无限集合的幂集是不可数无限的。要展示康托尔定理的对于无限集合的有效性，只需要测试一下下面证明中无限集合。 证明 设 f 是从 A 到 A 的幂集的任何函数。必须证明这个 f 必定不是满射的。要如此，展示一个 A 的子集不在 f 的像中就足够了。这个子集是要证明 B 不在 f 的像中，假设 B 在 f 的像中。 那么对于某个 y ∈ A，我们有 f(y) = B。现在考虑 y ∈ B 还是 y B。如果 y ∈ B，则 y ∈ f(y)，但是通过 B 的定义，这蕴涵了 y B。在另一方面，如果 y B，则 y f(y) 并因此 y ∈ B。任何方式下都是矛盾。因为 x 在表达式 "x f(x)" 中重复出现，这是对角论证法。本回答被网友采纳