求教数学史问题？问题有若干，能解决我把所有的财富给他

Question

一、名词解释
1. 可公度量与不可公度量 2.古希腊三大几何问题 3.少广术 4. 均输术 5.开带从平方与开带从立方法 6.古希腊的“穷竭法”与刘徽“割圆术” 7. 费马大定理 8.中国剩余定理 9. 天元术与四元术 10.算经十书11.数学“公理化”思想 12.“牟合方盖”模型 13.“祖率”
二、简答题
1.早期文明中，研究美索不达米亚与埃及数学发展主要的数学史文献是什么？
2.简述毕达哥拉斯学派的“形数”思想.
3.阐述古希腊三大几何问题及其价值？
4.阐述数学“公理化”思想方法的起源与发展 ？
5. 什么是数学公理体系？谈谈你的认识.
6.比较评价：安提丰的“穷竭法”、阿基米德圆面积计算与圆周率推算的方法和刘徽的“割圆术”。
7.阐述祖冲之、祖暅的主要数学贡献。
8.阐述丢番图在数学上的主要贡献。
9.
10.阐述贾宪“开方本源图”和“增成开方术”所做的贡献。
11.阐述秦九韶《数书九章》的数学成就。
三、推证与计算
1.画图推证《周髀》中的日高公式。
2.勾股定理的证明：
（1）普鲁塔克曾今猜想的毕达哥拉斯“面积剖分法”的证明。
（2）欧几里德《原本》中毕达哥拉斯定理的证明
（3）赵爽弦图的勾股定理的证明。
（4）刘徽“出入相补原理”对勾股定理的证明。
3.请按照贾宪的“增成开方术”原理求解《九章算术》少广19问：今有积一百八十六万八百六十七尺，问为立方几何？可以借助于现代的符号表达。
4.已知《九章算术》方程8问：今有卖牛二、羊五，以买十三豕（shi,猪），有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？用现代的符号列出方程组，并按照《九章算术》“方程术”的原理写出求解的过程。
四、论述题
1. 揭示第一次数学危机的产生历史背景，以一种历史发展的视角评述第一次数学危机的历史意义。
2. 试从数学发展与社会发展关系的角度探讨为什么希腊数学在公元前3到4世纪从它的顶峰急剧地衰落？
3.为什么数学教育需要数学史，数学史具有什么样的教育价值？
4.通过数学史的学习，谈谈你对数学的认识和理解？
5.通过中西方古代数学的学习，论述中西方数学发展的主要特点，并比较它们的异同。

Answer 1

以下分四个部分进行说明数学史在教学中的价值体现

　　2.1 让学生吸取知识原汁，利于学生更好地理解和接受知识，展示数学家思维，启迪学生智慧，培养学生创造性思维。

　　学过数学的人也许都有这样的经历，我们在开始接触“用字母表示数”的观念，用符号表示一些概念，如“加”“减”“乘”“除”号，“分数符号”，“小数符号”，“对数符号”“极限符号”等等，总会出现一些困惑，不明白为什么会这样来表示，它们从何而来，一时难以理解、接受，而老师们又不再向我们作任何解释，说个明、道个白。所以大家只能不情愿、稀里糊涂地接受了。又如一些定义、定理等，老师也是不论证它们是如何得来的，大家也只好死记硬背这些东西了，难以灵活运用。其实，数学既是创造的，也是发现的，大到这门科学本身，小到一个个定义、定理、数学符号，它们总是在一定的文化历史背景下出于某一种思考而产生、发展起来的。列宁说过：“一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。”不重视智慧训练的数学教学是没有前途的教学，就培养学生的数学思维能力而言，前人数学思维发展中的经验教训是最有借鉴意义的，数学知识不会离开数学史而凭空产生。“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师教人发现真理。”为此，我们的数学教育应当努力还原，再现这一发展过程，从数学家的废纸篓里寻找知识的源泉。比如在讲讲代数中“负数”这一部分内容时，教师们应该介绍负数产生的主要原因：一是来自生活实践的需要，二是由于解方程的需要。可向他们举例：你现在12岁，爸爸35岁，问什么时候你爸爸的岁数将会是你的3倍？解方程35+X=3（12+X）得X=35-36。发现这一结果无法用我们以前所学的正数来表示，必须扩充到用另外的一种数来表示，为此产生的负数。又如讲符号“ ”的引入时，我们也应象引入负数那样，先阐明引入“ ”这个符号的必要性、合理性和客观性，最后再给出它的意义。这样的教学就能让学生明白了数学上的一些符号、概念是如何而来的，看到了它们的功能，感悟到一个符号或一个数的产生是一个自然客观的需求和人类进步的产物，体会到人类的高明之处就在于创造，当一个问题看来不可能时，人们可以创造一些新的字符或形式，来表达一种新的概念或观点。学生不再产生疑惑，自然而然的接受了这些知识，也起到了培养他们创造意识的作用。若有机会，教师还可就此讲一下关于这部分知识的故事，如“历尽艰辛的负数”、“无理数的诞生与第一次数学危机”等，让学生明白这些符号或概念的产生是多么的来之不易，从而萌发掌握好这些知识的思想。教师还可适当介绍一些现在已废弃不用了的但与现在能使用的数学符号具有联系的古数学符号及理论表述形式，进行比较，有助于学生理解现在使用的这些符号和表述形式的优点，从而加深印象，更好地使用。

　　在学习到一些重要定理、定义时，我们也提倡教师恰当地向学生展示其发现过程、数学家们的思维过程。如“勾股定理”的学习，有必要向学生介绍刘薇的“出入相补”原理的证明方法，展现他的证明过程，说明他的证法较赵爽的用“弦图”证明及梅文鼎，李善兰的证法更简洁、直观、巧妙，比他们高出一筹。这样，学生就不单只看到经过严格论证的结果，即成功的记录，而是看到数学家们思维活动的过程，感受到了数学家们敏锐的洞察力和机智，对培养学生数学思维具有启发意义。因为学生解题活动中的探索性思维与数学家从事研究活动的探索性思维本质上是相通的。而且从刘薇、赵爽等人都能通过不同途径达到证明“勾股定理”的目的中，学生们还可得到启示，即一道数学的证明方法或解法有多种多样，在学习中我们不应满足于一种证法、一种解法，而应充分、发挥自己的智慧，不断挖掘潜能，寻求最佳解题方法。

　　2.2培养学生民族自尊心和自豪感，激发他们学好数学。

　　对学生进行爱国主义教育是我们教师义不容辞的责任和义务。我国在数学上有卓越的成就，对东方乃至全世界的数学发展做过巨大贡献。在数学教学中，若能结合教学内容，自然、恰当、生动而富有情趣的进行一些我国古今数学上的成就或数学家的事迹，可培养学生的民族自尊心和自豪感，增强热爱社会主义祖国的思想感情，这种教育效果是很难用其方式代替的。如讲“方程”时可想学生介绍：在我国著书《九章算术》的“方程”一章中就给出了一次方程组（线性方程）的一般解法，它的解法除了符号、术语和计算工具（古代用筹来计算）不同之外，和现代使用的消元法实际上是一样的。直到一千五百年后的17世纪末，德国数学家莱布尼兹才给出解法。说明我国的一次方程组解法是数学史上的一大光辉成就，是中华民族的骄傲。又如我国是最早承认负数的国家，“极限”中的著名极限论断“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”对后世数学发展的影响很大。刘徽发明了割圆术，得到 =3.14的世界首创近似值，而祖冲之是世界上的第一个算出圆周率到七位小数的人，比17世纪荷兰人安托尼兹早了一千一百多年……现代数学界上也有令我们骄傲的地方，如陈景润的哥德巴赫猜想“1+2”的证明遥遥领先世界水平，华罗庚、张广厚等对数学界影响也很大……所有这些辉煌成就都是我们中华民族的光荣，激励学生继承发扬我国数学的光辉成就，继往开来，为我国的数学发展作出贡献。

　　当然，再向学生介绍以上这些辉煌成就的同时，也要指出不足的一面。如由于我国受封建势力的长期统治及外来势力的压迫，生产力十分落后，数学作为自然科学的基础理论和运用工具，长期发展缓慢。解放后，在中国共产党领导下，社会主义的新中国生产力才得到彻底的解放，社会主义建设事业也才得到发展，而数学研究也因此才有新改观。向学生展示我国数学发展缓慢原因，可让学生认识到封建腐朽社会制度是阻止科学发展的源泉，优越的社会制度为科学的发展提供了良好的条件。以此激发学生热爱中国共产党，热爱社会主义祖国的思想感情，珍惜今天优越的学习环境和条件，更加努力学习。同时，还要学生了解，尽管我国在数学研究和教育都有相当规模，我国数学家们也取得很多重要成绩，我国学生在数学奥林匹克中也有可喜成绩，但总体来看，获得世界一流的研究成果还不是很多，也缺少若干有自己理想特色的学派，我国数学事业与世界先进水平还有一些差距。落后就要挨打，陈景润的“1+2”为我国数学事业在世界民族之林中占有了一席之地，为国人争光。以此激励学生为发展我国数学事业而奋斗，为中华之崛起而奋斗，让他们产生正确的学习动机，即除了对知识本身的追求外，还要为祖国的科学事业更加辉煌而学习。心理学家认为，动机是激励人们去行动以达到一定目的的内在原因，也是推动人们行动的内部动力。兴趣是最好的老师，但缺少正确的动机，兴趣就会跟着感觉走，失去正确的方向。让学生树立良好、正确的动机对他们学好知识可谓很重要。

　　教师还可结合数学家们的爱国事迹向学生进行爱国主义教育。如世界著名数学家陈省身放弃国外优厚物质条件，回国献身科学事业。又如全国刚解放不久，华罗庚等许多流落海外的著名数学家不为金钱的诱惑，冲破重重困难，陆续回到中国，为祖国数学事业贡献自己毕生精力。听到这些事迹，学生们就会引起强烈共鸣，从这些数学家的身上吸取了终身为用的精神素养，他们会明白，我们今天的学习不是为了自己，而是为了伟大的祖国更加富强，强烈的爱国之心可以抵御任何金钱、荣誉的诱惑。当我们的学生今后面临类似的问题时，根深蒂固在他们心中的这些科学家的爱国精神会让他们做出正确的选择，而不至于像现在的一些留学生们，为了自己安逸的生活而忘了自己的“根”在哪里，甚至做出对不起祖国母亲的事来！

　　2.3培养学生辨证唯物主义世界观，逐步形成共产主义世界观，加强识别能力。

　　数学的发展史，本身就是唯物主义与唯心主义斗争的历史。恩格斯曾指出，数学是“辨证法的辅助工具和表现形式”。由于数学的高度抽象性往往掩盖了它来源于客观现实的物质性。在数学教学中，如果不揭示它的物质性，就会使学生陷入唯心论形而上学的迷惘之中，误认为数学不是来源于客观现实，而是如唯心论所说的数学是任意思维创造的产物，是少数“天才”数学家头脑中臆造出来的。例如，通过讲有理数、无理数、虚数、对数等这些概念的产生和发展，可让学生意识到，这些数都是随着人类生活、生产的需要而逐步形成和发展起来的。几何学也是从人们的实际需要产生和发展起来的。如：点、线、面、角、多边形、圆、扇形、弓形；柱体、锥体、台体、球体、多面体；椭圆、双曲线、抛物线；相似、相交、垂直，平行、面积，体积等概念。

　　又如，在讲到《平面几何》有关尺规作图题时，教师应向学生讲清“尺规作图三大不能问题”的历史渊源，说清这是无数数学家辛勤求索而最终确立了的科学真理，列举曾出现过的种种“证明”，揭示其作图不能的科学原理，以此增强学生的识别能力。否则有些学生将会重蹈历史上的弯路和覆辙，花费大量的时间和精力，企图寻找出所谓的新解法，以推翻这历史公认的科学结论。

　　2.4 培养学生热爱科学，追求知识的精神风貌和刻苦钻研的坚强意志

　　每一为数学家的成长经历都是一个个动人的故事，一首首净化人的心灵的篇章，他们对科学的热爱和执着、刻苦钻研精神、顽强毅力和严谨作风等，都对学生的触动很大，对于调动他们的非智力因素大有裨益。因此，教师应结合教材在课内或课外向学生多讲讲一些数学家的感人故事。如讲讲无理数学时，可穿插这样的故事，无理数的发现者是古希腊毕达哥拉斯学派的希帕苏斯，他敢于向自己最权威的老师毕达哥拉斯提出疑问，从而诞生了数学史上伟大的发现——无理数，而这却违背了毕氏学派的“万物皆整数”的教义。但他为了坚持科学真理，不向势力低头，最终被扔进了大海，成了数学史上第一个献身数学真理的数学家。但真金不怕火炼，“无理数”并没有随同主人一起抛进大海，而是在社会上流传下来。这一故事让学生得到启示：（1）我们数学上的每一个符号或概念、定理等真的是多么来之不易，从而更加珍惜这些科学成果，激起了努力学好它们的信念。（2）学习上敢于提出疑问，对知识要热爱执着，我们才会取得不断进步。（3）真理是扑不灭的，相信科学，热爱科学。又如在讲立体几何中的“祖 原理”时可结合穿插三代（父亲祖冲之，儿子祖皓）的故事，能将学生至于求知欲望强烈的气氛中。祖 一生坎坷，但他却努力过人，取得不少成就，其中我们今天学习的祖 原理就是他的一个伟大成就之一。华罗庚出身贫寒家庭，无力进入高中学习，被迫中途辍学，在单调的站柜台生活中自学数学，后因患伤寒症，年纪青青就落下终身残疾，但他身残志不残，凭着对数学的热爱和执着，克服各种困难，发奋努力，不断进取，自学成才，在数学界上取得很高的地位。陈景润耗尽毕身精历，孜孜以求，克服重重困难，深入探索数论的奥秘，为证明“哥德巴赫猜想”，看过的书数不胜数，演算过的稿子堆积如山，终于取得不匪的成绩。一个个故事如润物细无声的春雨，滋润着学生的心田，陶冶他们的情操，起着潜移默化的作用，有助于学生立志学习科学家勇攀科学高峰的进取心，锲而不舍的钻研精神，培养了他们坚强的意志。心理学家认为，意志是成功的重要心理因素，意志坚强的人，就会自觉的以实际行动为实现其预定的目标而奋斗，自觉的克服各种困难，使自己的行为服从即定的目的和信念，而意志薄弱的人，就会知难而推。因此说，具有良好的意志品质是学生学习成功的必要条件。培养他们具有了坚强的意志，他们就能克服困难、懒惰和消极的情绪，以坚韧的毅力去刻苦学习。