常微分方程常见形式及解法有一阶常微分方程、二阶常微分方程、高阶常微分方程等。
1、一阶常微分方程
一阶常微分方程是最简单的常微分方程形式，它可以表示为y'（t）=f（t，y），其中f（t，y）是关于t和 y的函数。对于这种形式的方程，可以使用分离变量法或积分法求解。
考虑以下一阶常微分方程：y'（t）=t+ y，这是一个简单的一阶线性常微分方程。通过分离变量法，我们可以得到dy/dt=1+ y/t。然后通过积分，我们可以得到y=-t+ C*exp（t），其中C是常数。
2、二阶常微分方程
二阶常微分方程的一般形式是y''（t）=f（t，y，y'），其中f（t，y，y'）是关于t，y和 y'的函数。对于这种形式的方程，可以使用牛顿-莱布尼茨公式或降阶法求解。
考虑以下二阶常微分方程：y''（t）=y'（t）+y（t），这是一个简单的二阶线性常微分方程。通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到通解为y（t）=C1exp（t）+C2exp（-t），其中C1和C2是常数。
3、高阶常微分方程
高阶常微分方程的一般形式是y^（n）（t）=f（t，y，y'，...，y^（n-1）），其中f（t，y，y'，...，y^（n-1））是关于t，y，y'，...，y^（n-1）的函数。对于这种形式的方程，可以使用递推法或变量代换法求解。
考虑以下三阶常微分方程：y'''（t）=y''（t）+y'（t）+y（t）。
常微分方程的应用：
1、物理学
在物理学中，常微分方程被用来描述许多动态系统的行为。牛顿第二定律F=ma可以被视为一个常微分方程。它描述了一个物体的加速度如何随时间变化，取决于作用在物体上的力F。通过解这个常微分方程，我们可以预测物体未来的位置和速度。
2、化学工程
在化学工程中，常微分方程被用来描述化学反应的动力学。考虑一个化学反应A->B，我们可以使用反应速率方程d[A]/dt=-k[A]^n来描述反应过程中A的浓度如何随时间变化。其中k是反应速率常数，n是反应阶数。通过解这个常微分方程，我们可以预测反应过程中A的浓度如何随时间变化。
3、经济学
在经济学中，常微分方程被用来描述经济变量的动态变化。考虑一个简单的经济学模型y'（t）=k（t）y（t），其中y（t）表示时间t时的经济变量y的值，k（t）表示时间t时的经济增长率。通过解这个常微分方程，我们可以预测未来经济变量的值。