【题目】将f(x)=sinx展开成x的幂级数。
【求解答案】
【求解思路】
1、对f(x)=sinx函数求n阶导数。
2、分别求x=0处的导函数值。
3、作出幂级数
并求其收敛半径R
4、考察泰勒公式余项Rn(x)在区间（-R,R）内的极限
【求解过程】
【本题知识点】
1、幂级数。
2、幂级数的收敛半径。
3、幂级数的运算性质
（1）连续性
（2）可导性
（3）可积性
4、泰勒级数。
sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是:
最后以省略号结束，代表 “ 无穷 ”，需要求的就是 a0，a1，a2，…… 的值，准确地说就是通项公式。然后，我们就可以开始 “ 微分 ” 了，就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分，其实是四个一循环的:sin x ➜ cos x ➜ - sin x ➜ - cos x，再回到 sin x……我们也会注意到，凡是把右边微分后，第一项(常数)就为 0 了，也就是可以直接忽略。
这样一来，等式左边在有规律地循环着，等式右边每次都减少一项。当然，x = 0 时等式也会成立，那将 x = 0 带入，将消去所有 x 指数大于 0 的项(都是 0 啊)。这样一来，就可以顺利求出 a0，a1，a2，……啦，sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分别是 0、+1 、0、-1(显然的规律)。上面是微分的过程，下面是对于所有系数得到的等式。
最后，等式左边是四个一循环，可以从除以 4 的余数来考虑(分类);然后，等是右边可以用字母来代替，就是 k! × ak，这里 k! 代表阶乘。所以说，我们可以得到一个看上去漂亮的结果:
如果将系数数列 a 代入，那么偶数项都会消掉(系数为 0)，只剩下一加一减的奇数项了。这就是泰勒展开(其实泰勒展开有好几个，这里只是 sin x 的泰勒展开):
