求教一元三次方程的解法以及推导过程

Question

如题所述

Answer 1

任意实系数三次方程的古典解法：对于ax³+bx²+cx+d=0（a≠0），先做代换：x=y-[b/(3a)]，方程可转换为：y³+py+q=0其中p=c-(b²/3a)，q=d-[(2b³+9abc)/27a²]令y=m+n，且M=m³ï¼ŒN=n³ï¼Œä»£å…¥ä¸Šè¿°æ–¹ç¨‹å¾—到：(m+n)³+p(m+n)+q=0(m+n)(p+3mn)+(q+m³+n³)=0若满足m³+n³=-q且mn=-p/3则上式成立，即：M+N=-q和MN=(-p/3)³=-p³/27根据韦达定理，显然M和N就是如下一元二次方程的根：z²+qz-(p³/27)=0z1,2=｛-q±√[q²+4(p³/27)]｝/2=(-q/2)±√[(q/2)²+(p/3)³]显然判别式为：Δ=(q/2)²+(p/3)³æ ¹æ®Î”的符号可以计算出M和N，进而得到三个y值，最后变换到x的值。（注意M和N要按复数开方法则求出m和n，每个m或n对应三个复数根，m+n组合成三个y值，特别注意要选择mn=-p/3的值来组合！）